第十一章 滚动习题(六)[范围11.3~11.4]（含解析）高中数学人教B版（2019）必修 第四册

滚动习题(六) 1.D　[解析] 在△ABC中,因为=,所以DE∥BC,又BC 平面α,DE 平面α,所以BC∥平面α,故选D. 2.A　[解析] 若l⊥β,则由l⊥α,得α∥β,又m α,所以m∥β,充分性成立;如图,满足m∥β,m α,l⊥α,但l⊥β不成立,必要性不成立.故选A. 3.D　[解析] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,令平面ABCD是平面α.对于A,若平面A1B1C1D1为平面β,直线BC为直线a,直线A1B1为直线b,显然α∥β,a α,b β,此时直线a,b是异面直线,a,b不平行,故A错误;对于B,若平面CDD1C1为平面β,则α∩β=DC,直线DC为直线a,直线AB为直线b,显然a∥b,但b α,此时直线b不与平面α平行,故B错误;对于C,若平面CDD1C1为平面β,直线AB为直线a,直线DC为直线b,显然α⊥β,a α,b β,此时直线a,b平行,a,b不垂直,故C错误;对于D,若a⊥α,α∥β,则a⊥β,又b β,所以a⊥b,故D正确.故选D. 4.A　[解析] 在直线m上取一点A,过直线n和直线外的一点A确定一个平面β,设α∩β=a,因为n∥α,且n β,所以n∥a,因为l⊥n,所以l⊥a,又因为l⊥m,且a∩m=A,a,m 平面α,所以l⊥α.故选A. 5.B　[解析] 取AB的中点N,连接MN,CN,如图所示,设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,则BC=CC1=a,易知MN⊥平面ABC,所以∠MCN即为直线CM与平面ABC所成的角,易知CN=a,又CM==a,所以sin∠MCN===,所以直线CM与平面ABC所成角的正弦值为.故选B. 6.D　[解析] 取BC的中点M,DE的中点N,连接AM,FM,MN,AN,如图,因为正三棱锥A-BCF和正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为2,所以BC⊥FM,BC⊥AM,AN⊥DE,又FM∩AM=M,所以BC⊥平面AMF,因为BC∥DE,所以BC⊥AN,因为AM∩AN=A,所以BC⊥平面AMN,所以平面AMF与平面AMN重合,因为AF=MN=2,FM=AN=,所以四边形AFMN为平行四边形,所以AF∥MN,又MN∥CD,所以AF∥CD,故A中说法正确;因为CD⊥DE,所以AF⊥DE,故B中说法正确;因为AF∥CD,AF=CD,所以四边形AFCD为平行四边形,同理可得,四边形AFBE也为平行四边形,所以CF∥AD,因为CF 平面ADE,AD 平面ADE,所以CF∥平面ADE,同理可得,BF∥平面ADE,因为CF∩BF=F,所以平面BCF∥平面ADE,又AF∥CD∥BE,所以新几何体为三棱柱,故C中说法正确;设正四棱锥A-BCDE的内切球半径为R,易知正四棱锥A-BCDE的高为=,由××22=R,得R=,故D中说法不正确.故选D. 7.ACD　[解析] 对于A,若两条直线为异面直线,则两条直线无公共点,故A中说法错误;对于B,三个平面,最多把空间分成8个部分,故B中说法正确;对于C,若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或l与α相交,故C中说法错误;对于D,如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条直线可能在这个平面内或与这个平面平行,故D中说法错误.故选ACD. 8.ABD　[解析] 分别取CC1,C1D1,A1D1,AA1的中点H,I,J,K,连接FH,HI,IJ,JK,KE,A1C1,如图①,易知EF∥AC,IJ∥A1C1,因为AC∥A1C1,所以EF∥IJ,同理可得KE∥IH,JK∥HF,故E,F,H,I,J,K六点共面.因为EF∥AC,EF 平面ACD1,AC 平面ACD1,所以EF∥平面ACD1,同理HF∥平面ACD1,又EF∩HF=F,EF,HF 平面EFHIJK,所以平面EFHIJK∥平面ACD1,又因为点G在正方形A1B1C1D1内(含边界),且平面EFG∥平面ACD1,所以G∈IJ.对于A,若存在实数λ使得=λ,则A1,G,D1三点共线,且G为A1D1的中点,所以点J即为点G,所以λ=1,故A正确;对于B,若G∈C1D1,则点G即为点I,因为平面EFG∥平面ACD1,且平面EFG∩平面ABC1D1=IE,平面ACD1∩平面ABC1D1=AD1,所以IE∥AD1,又IE 平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以IE∥平面ADD1A1,即EG∥平面ADD1A1,故B正确;对于C,如图②,因为AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以AA1⊥BD,又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,又AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,由A1C 平面ACC1A1,可得BD⊥A1C,同理BC1⊥A1C,又BD∩BC1=B,BD,BC1 平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D,则在正方体内,以△BC1D为底面的三棱锥的体积的最大值为=33-3×××3 ... ...