2.2切线长定理 【知识点1】切线长定理 1 【知识点2】切割线定理 1 【题型1】应用切线长定理解决周长问题 2 【题型2】应用切线长定理求解 5 【题型3】应用切线长定理证明 9 【知识点1】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【知识点2】切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方=PA PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD PC=PA PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PA PB=PC PD． 【题型1】应用切线长定理解决周长问题 【典型例题】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（ ） A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm 【答案】C 【解析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA＝EC，FC＝FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于PA+PB． ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PB＝PA＝10cm， ∵EA与EC为⊙的切线， ∴EA＝EC， 同理得到FC＝FB， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF ＝PE+EA+FB+PF ＝PA+PB ＝10+10 ＝20（cm）． 故选：C． 【举一反三1】如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PDE的周长为（ ） A.10 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【解析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，从而求解． ∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点， ∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥AP． 在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8， ∴△PDE的周长为2AP＝16． 故选：C． 【举一反三2】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的另一条切线分别相交于D、C两点，已知PA＝7，则△PCD的周长＝ ． 【答案】14cm 【解析】设CD与⊙O相切于E，根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝7cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到DA＝DE，CE＝CB，然后三角形周长的定义得到△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DE+CE+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB． 设CD与⊙O相切于E， ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PB＝PA＝7cm， ∵DA与DE为⊙的切线， ∴DA＝DE， 同理得到CE＝CB， ∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DE+CE+PC ＝PD+DA+CB+PC ＝PA+PB ＝7+7 ＝14（cm）． 故答案为14cm． 【举一反三3】已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴OA⊥AD，OB⊥BC， ∵OA，OB是半径， ∴AF、BP都是⊙O的切线， 又∵PF是⊙O的切线， ∴FE＝FA，PE＝PB， ∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6． 【举一反三4】如 ... ...
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