2.3三角形的内切圆 【知识点1】三角形的内切圆与内心 1 【题型1】三角形的内切圆和外接圆的综合应用 1 【题型2】三角形的内心和外心的综合应用 7 【题型3】三角形的内切圆与内心的应用 11 【题型4】三角形的内心 17 【题型5】三角形的内切圆 23 【知识点1】三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【题型1】三角形的内切圆和外接圆的综合应用 【典型例题】如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ） A.5 B.4.5 C.4 D.3.5 【答案】C 【解析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题． 延长ID到M，使DM＝ID，连接CM． ∵I是△ABC的内心， ∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB， ∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB， ∴∠DIC＝∠DCI， ∴DI＝DC＝DM， ∴∠ICM＝90°， ∴CM＝＝8， ∵AI＝2CD＝10， ∴AI＝IM， ∵AE＝EC， ∴IE是△ACM的中位线， ∴IE＝CM＝4， 故选：C． 【举一反三1】如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ABC＝90°，点D，E是切点，下列说法不正确的是（ ） A.CD＝CE B.∠ABO＝45° C.△BCO的外心在△BCO的外面 D.四边形ODCE有外接圆 【答案】D 【解析】根据三角形内切圆的性质得到OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，根据角平分线的性质得到CD＝CE，故A正确；根据角平分线的定义得到∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正确；根据全等三角形的性质得到∠COD＝∠COE，根据三角形的内角和定理得到∠BOC＝90°+A＞90°是钝角三角形，推出△BCO的外心在△BCO的外面，故C正确；推出点O、D、C、E四点共圆，得到四边形ODCE有外接圆，故D错误． ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC， ∴CD＝CE，故A正确； ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴OB平分∠ABC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正确； ∵OD⊥BC， ∴∠BOD＝45°， 在Rt△CDO与Rt△CEO中， ， ∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL）， ∴∠COD＝∠COE， ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠BOC＝90°+A＞90°是钝角三角形， ∴△BCO的外心在△BCO的外面，故C正确； ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，点D，E是切点， ∴OD⊥BC，OE⊥AC， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°， ∴点O、D、C、E四点共圆， ∴四边形ODCE有外接圆，故D错误， 故选：D． 【举一反三2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ ． 【答案】65° 【解析】设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，根据内心得∠DAB＝α，∠ABE＝β，利用三角形内角和定理即可求得α+β＝65°，即可求得答案． 设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠DAB＝α，∠ABE＝β， ∴∠CAB+∠ABC+50°＝2α+2β+50°＝180°， ∴α+β＝65°， 则∠DBE＝α+β＝65°． 故答案为：65°． 【举一反三3】如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D． （1）求证：DB＝DI； （2）如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求证：BC＝2AM． 【答案】证明：（1）连接BI， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∴∠BAD+∠ABI＝∠CAD+∠CBI， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI， ∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CB ... ...
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