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课件网) 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 第1课时 等比数列的定义和通项公式 探究点一 等比数列的判断或证明 探究点二 等比数列的通项公式及其应用 探究点三 等比数列的实际应用 探究点四 构造等比数列求数列的通项公式 【学习目标】 1.理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式； 2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系,并能用有关的知 识解决相应的问题； 3.体会等比数列与指数函数的关系. 知识点一 等比数列的定义 一般地,如果数列 从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于 _____,即_____恒成立，则称 为等比数列，其中 称为等比数列的_____.（数列至少应该有3项） 同一个常数 公比 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若数列满足,那么 是等比数列. ( ) × [解析] 不一定.当 时,按所给递推关系式,该数列为常数列,且常 数为0,此时 不是等比数列. （2）常数列一定为等比数列. ( ) × [解析] 当常数列各项均为0时,不是等比数列. 知识点二 等比数列的通项公式 1.一般地,如果等比数列的首项是,公比是 ，那么根据等比数列 的定义可知，等比数列的通项公式是_____. 等比数列的通项公式说明，只要确定了等比数列的首项与公比，就 可以写出等比数列中的每一项. 2.等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项, 是等比数列的第项,且,公比为 ,则有_____. 3.在等比数列中,_____或 _____. 4.数列是等比数列的充要条件是 . 知识点三 等比数列与指数函数的关系 一般地,在等比数列中,可改写成 _____.当 且时,是一个_____函数,故等比数列 的图象是 函数 的图象上一些孤立的点（即散点图）.运用函数的 思想方法解决等比数列的有关问题是一种解题捷径.等比数列的单调 性为： 指数 （1）当公比时,是常数函数，此时数列 是____数列. 常 （2）当公比时，是与的乘积，此时 的增减性既 与有关，也与 有关. 当,时,等比数列 是_____数列; 当,时,等比数列 是_____数列; 当,时,等比数列 是_____数列; 当,时,等比数列 是_____数列; 当时,等比数列 是_____数列. 递增 递增 递减 递减 摆动 【诊断分析】 （多选题）已知数列 为递增数列,且为等比数列， 为的公比.关于数列 ，下列说法正确的是( ) A.当时， B.当时， C.当时， D. [解析] 当时，因为数列为递增数列，所以 ,故A正确, B错误； 当时，因为数列为递增数列，所以 ，故C正确； 若为递增数列，则，若，则 ， 若，则，故D错误.故选 . √ √ 探究点一 等比数列的判断或证明 例1 在各项均为负数的数列中,已知,且 . （1）试说明 是等比数列,并求出其通项公式. 解：由,得,则数列是公比 的等比数列. 由,得,即 . 又数列的各项均为负数,所以,所以数列 的通项公式 为 （2）是数列 中的项吗 如果是,指明是第几项;如果不是,请说 明理由. 解：由,得,因此是数列 中的项,且是第6项. 变式 已知数列的前项和为， ． （1）求， ； 解：由，得，解得 . 由，即，可得 . （2）求证：数列 是等比数列． 证明：当 时， ， 整理得 ， 所以是首项为，公比为 的等比数列． ［素养小结］ 判断一个数列是否是等比数列，首先要验证数列中是否有0这一项， 若有0这一项，则一定不是等比数列，然后再判断数列中任意连续两 项的比是否为一个定值，或任意连续两项的比值与该两项在数列中 的位置无关. 探究点二 等比数列的通项公式及其应用 ［提问］ 等比数列的通项公式常用的有哪些形式 适用条件分别是 什么 解：常用的有两种形式： （1） ,适用于知道首项和公比求通项公式; （2） ,适用于知道某一项和公比求通项公式. 例2 在等比数列 中. （1）若，，求 ； 解：因为所以 由得 ， 所以 . （2）若，，，求 ； 解：因为，所以 ， 由，得 ... ...
