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课件网) 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质 探究点一 等比中项的计算 探究点二 等比数列的性质及应用 探究点三 等比数列与等差数列的综合应用 【学习目标】 1.理解等比中项的概念及应用； 2.掌握等比数列的性质并能灵活应用. 知识点一 等比中项 1.如果,,是等比数列,那么称 为_____. 与的等比中项 2.根据等比中项与等比数列的定义可知,因此 ,由此可知 _____.这就是说,两个数,的等比中项有两个,分别为 和 . 3.充要条件：在一个等比数列中，中间的每一项都是它的前一项与后 一项的等比中项；反过来，如果一个数列中，中间的每一项都是它 的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若是，的等比中项，则 ，反之成立. ( ) × [解析] 若是，的等比中项，则，显然成立；在 中， 若，则，中至少有一个为0，此时不是， 的等比中项. （2）在等比数列中，，，则和 的等比中项 为8. ( ) × [解析] 根据等比中项的定义可得，和 的等比中项为 . 2.等比中项和等差中项有什么区别 解：等比中项与等差中项的区别： 只有同号的两个实数才有等比中项,而且有两个等比中项,二者互为相 反数；任意两个实数都有等差中项,而且等差中项是唯一的. 知识点二 等比数列的性质 1.如果是等比数列,而且正整数,,,满足 ,那么 _____. 特别地,如果 ,那么_____. 2.数列是公比为 的等比数列. ①数列仍是等比数列,公比为___;数列 仍是等比数列, 公比为____. ②若，，成等差数列，则，， 成等比数列； ③的公比为 ； ④的公比为 ； ⑤若是公比为的等比数列，则是公比为 的等比数列, 是公比为 的等比数列； ⑥，，， 成等比数列，公比为 ； ⑦连续相邻项和（或积）构成公比为（或 ）的等比数列. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若数列是等比数列，则 是等比数列. ( ) √ [解析] 由等比数列的定义及性质可判断 是等比数列. （2）将公比为的等比数列 依次取相邻两项的乘积组成新的数 列，，， ，则此数列是公比为 的等比数列. ( ) × [解析] ，且 ， 是以 为公比的等比数列. （3）已知 为等比数列,取其奇数项组成一个新数列,则此新数列 是等比数列. ( ) √ [解析] 设等比数列的公比为,其奇数项为,,, ,是公比为 的等比数列. （4）若数列 的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同， 则 是等比数列. ( ) × （5）在等比数列中，若，则 . ( ) × [解析] 不一定.当数列为非零常数列时结论不成立； 当数列为非常数等比数列时结论成立 探究点一 等比中项的计算 例1（1） 在等比数列中,,，则, 的等比中项为 ( ) A.2 B. C.2或 D.4或 [解析] 由等比数列的等比中项的定义知，, 的等比中项为 .故选C. √ （2）如果，，，，成等比数列，那么____， ___. 9 [解析] 因为是，的等比中项，所以，所以 ， 又等比数列中奇数项符号相同，所以，故. 因为是， 的等比中项，所以，即 . 变式（1） 已知1既是与的等比中项，又是与 的等差中项，则 的值是( ) A.1或 B.1或 C.1或 D.1或 [解析] 由题意得，，， 或 ，的值为1或 . √ （2）若数列为等比数列，且，数列 为等差数列， 且，则 ( ) A.4 B.8 C.16 D.24 [解析] 因为数列是等比数列，所以 ， 所以，所以，所以 .故选C. √ ［素养小结］ ①等比中项可以与其他性质综合应用，可以简化计算、提高速度和 准确度；②等比中项可以用来判断或证明数列是等比数列；③等比 数列中所有的奇（偶）数项的符号是一致的. 拓展 已知,,且,,成等比数列，则 的最小值是 ( ) A.1 B. C. D.2 [解析] 因为,,成等比数列,所以. 由, , 得,, 所以 ,当且仅当, 即时取等号， 所以 ... ...
