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课件网) 5.3 等比数列 5.3.2 等比数列的前项和 第1课时 等比数列的前 项和公式 探究点一 等比数列前项和的基本运算 探究点二 解决简单的等比数列求和问题 探究点三 错位相减法 【学习目标】 1.了解等比数列前 项和公式的推导，体会公式推导过程中的分 类讨论和转化化归的思想； 2.会利用错位相减法求数列的前 项和； 3.应用等比数列前项和公式解决一些简单的与前 项和有关的问题. 知识点一 等比数列的前 项和公式 1.等比数列的前 项和公式 已知量 公式 2.两个公式的关系：把代入 中,就可以得到 . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）数列的前99项和为 . ( ) √ [解析] 数列 为等比数列，首项为1，公比为2， 故其前99项和 . （2）若某数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为各项均不为 零的常数列. ( ) √ 知识点二 错位相减法 等比数列前 项和公式的推导中,我们使用的方法称为_____. 该方法主要适用的题型是：若是公差的等差数列, 是公 比的等比数列,求数列的前项和.由 _____ _____,得 _____ _____,所以有 _____,则 _ _____. 错位相减法 【诊断分析】 已知数列的通项公式为 ,能用错位相 减法求的前 项和吗？ 解：能.错位相减法适用于通项公式为等差数列和等比数列的通项公 式相乘的形式. 探究点一 等比数列前 项和的基本运算 例1 在等比数列中，为其前 项和. （1）若，公比，，求和 ； 解：由， 以及已知条件， 得解得 （2）若，，求和 ； 解：设的公比为，由已知条件得 解得 ， . （3）若，，求和公比 . 解：当时，， , ，， . 当时，， , ，解得或 （舍去），. 综上所述,或 变式 [2024·重庆八中高二期末] 已知数列 是各项均为正数的等 比数列，且, . （1）求数列 的通项公式； 解：设等比数列的公比为, 由 ，可得, 又，所以 ，解得或, 因为数列的各项均为正数，所以 ,所以 . （2）若，求数列的前项和 . 解：由（1）知 ， 则 . ［素养小结］ 在等比数列的五个量，，，，中，与 是最基本的元 素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用与表示与 ， 从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的 目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.在使用等比数 列前项和公式时，要先确定公比 的取值，当无法确定时，务必要 对 是否为1进行分类讨论. 探究点二 解决简单的等比数列求和问题 例2 已知等比数列的前项和为,,, 成等差数列. （1）求的公比 ; 解：,, 成等差数列, ,显然的公比 , ,即 , 整理得,或 （舍去）. （2）若,求 . 解：,,,解得 , . 变式 已知等差数列满足，前3项和 . （1）求 的通项公式； 解：设的公差为，由，前3项和 ， 得，，解得， ， 所以 . （2）设等比数列满足，，求的前项和 . 解：由（1）得， . 设的公比为，则，所以 ， 所以的前项和 . ［素养小结］ 在解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，正确利 用等差、等比数列的定义、通项公式及前 项和公式解决问题. 拓展 [2024·上海行知中学高二期末] 已知数列 的奇数项是首项 为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列的前 项和为 ，且满足, . （1）求, ； 解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ， 则,,,, ， 因为，所以，即 ， 因为，所以，即 ， 解得, ， 所以, . （2）求数列的通项公式及数列的前项和 . 解：由（1）知, ， 所以对于，有 ， ， 则 . . 探究点三 错位相减法 例3 [2024·江西九江一中高二期末]已知数列的前项和为 ，且 ，若恒成立，则 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 √ [解析] 因为 ， 所以 ， 由 可得 ， 所以 ， 因为，所以，即恒成立，则， 故 的最小值为3.故选B. 变式 已知数列的前项和为，且 . （1 ... ...
