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课件网) 5.5 数学归纳法 探究点一 用数学归纳法证明（不）等式问题 探究点二 用数学归纳法证明平面几何和整除问题 探究点三 归纳、猜想及用数学归纳法证明 【学习目标】 1.能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题; 2.了解用数学归纳法证明时,“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤 缺一不可. 知识点 数学归纳法 数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题,如果 （1）当 时，命题成立; （2）在假设（其中 ）时命题成立的前提下,能够推出 _____时命题也成立. 那么，这个命题对大于等于 的所有自然数都成立. 在上述定义中，（1）是（2）的基础，即只有确定了 时命题成立， 后续的推导才会有意义. 【诊断分析】 1.数学归纳法证明的第一步中的初始值 只能是1吗？ 解：数学归纳法证明的第一步中的初始值 应根据命题的具体情况 来确定,不一定是1. 如用数学归纳法证明凸 边形的内角和为 时,其初始值 . 2.运用数学归纳法证明有关命题要注意哪些方面 解：（1）两个步骤、一个结论缺一不可. （2）第二步中,证明“当 时命题成立”的过程中,必须利用“归 纳假设”,即必须用上“当 时命题成立”这一条件,没有运用“归纳假 设”的证明不是数学归纳法. （3）在第二步的证明中,“当 时命题成立”这一归纳假设起着已 知条件的作用,“当 时命题成立”则是求证的目标,在这一步中, 一般要先凑出归纳假设里给出的形式,以便利用归纳假设. 探究点一 用数学归纳法证明（不）等式问题 例1（1） 用数学归纳法证明： ； 证明：①当时，左边 ， 右边，左边右边，故当 时，等式成立. ②假设当 时,等式成立， 即 ， 则当 时， ，即当 时，等式也成立. 由①②可知， . （2）用数学归纳法证明： . 解：①当时，左边，右边，左边 右边， 故当 时，不等式成立. ②假设当 时，不等式成立， 即 ， 则当时， ， 因为，所以 ， 所以 . 即当 时，不等式也成立. 由①②可知， . ［素养小结］ 用数学归纳法证明等式的考题，意在考查逻辑推理、数学运算的核心 素养，求解时需过双关：一是“看项关”，即看清等式两边的构成的规 律，等式的两边各有多少项，项的多少与 的取值是否有关；二是“归 纳递推关”，利用归纳假设，证明从到 ，等式都成立. 探究点二 用数学归纳法证明平面几何和整除问题 例2 求证：对任意的， 能被64整除. 证明： （1）当时， 能被64整除，命题成立. （2）假设当时， 能被64整除, 则当 时， ， 因为， 均能被64整除， 所以 能被64整除， 即当 时，命题也成立. 由（1）（2）可知，对任意， 能被64整除. 例3 证明：凸边形的对角线的条数为 ， . 证明：①当 时，凸四边形有2条对角线， ，命题成立. ②假设当时，命题成立，即 ， 则当 时，增加了1个顶点，凸多边形的对角线增加了 条， 则 ， 即当 时，命题也成立. 由①②可知，命题对任意， 都成立. ［素养小结］ 解决整除性问题的关键是从要证的式子中拼凑出假设成立的式子， 再证明剩余的式子也能被某式（数）整除.在几何问题中，常用到与 正整数 有关的几何证明，包括交点个数、内角和、将平面分成若干 部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元 素从个变成 个时，所证的几何量将增加多少.证题时可以先 用 得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明. 探究点三 归纳、猜想及用数学归纳法证明 例4 猜测使对任意正整数恒成立的正整数 的最小值为___. 3 [解析] 当,时， 不成立， 则 不合题意. 当时，不等式即为 ， 当时，不等式即为 ， 当时，不等式即为 ， 下面用数学归纳法证明该式对于, 成立. ①当时，不等式即为 ，不等式成立. 假设当时不等式成立，即 , 则当时， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时， ， 故当 ... ...
