本章总结提升 【知识辨析】 1.√ [解析] 该数列是每项都为1的常数列,有无穷多项,是无穷数列. 2.√ [解析] 若某个数列的第n项和n之间可以建立一个函数关系式,则这个数列就有通项公式,否则这个数列就没有通项公式. 3.√ [解析] “递推关系是表示数列的一种方法”这一说法是正确的. 4.× [解析] 若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列. 5.× [解析] 如数列-1,2,-3,4,-5,其各项的绝对值构成等差数列,但其本身不是等差数列. 6.× [解析] 当公差d=0时,等差数列的前n项和不是二次函数模型. 7.√ [解析] ==(2n-1)an. 8.√ [解析] 等比数列{an}的前n项和Sn=(q≠0且q≠1)可变形为Sn=-qn(q≠0且q≠1),若令a=,则Sn=a-aqn,故该说法正确. 9.√ [解析] 根据等比数列的通项公式可知该说法正确. 10.× [解析] 当x=1时,前n项和无法用表示. 【素养提升】 题型一 例1 (1)A (2)12 [解析] (1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a+2nb-(a+2n-1b)=2n-1b,当n=1时,a1=S1=a+2b.若数列{an}为等比数列,则=,即=,可得a+b=0且b≠0,充分性成立.若a+b=0,当a=0且b=0时,a1=0,{an}不是等比数列,故必要性不成立.故“数列{an}为等比数列”是“a+b=0”的充分不必要条件.故选A. (2)因为{an}是等差数列,所以S15==15a8=5(a4+a8+ak),所以2a8=a4+ak,所以2×8=4+k,解得k=12. 变式 解:(1)证明:由题可得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn),又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列. 由题可得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=+2,又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1, 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-, bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+. 题型二 例2 BC [解析] 对于A,若数列{an}的公差为0,则由ap+aq=as+at不能得出p+q=s+t,故A错误; 对于B,设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d=n2+n, 则C=0,故B正确; 对于C,由Sn=2n+1+m,可知等比数列{an}的公比不为1,设公比为q, 由Sn==-qn,得q=2,=-2, 所以m=-2,故C正确; 对于D,在等比数列{an}中,当公比为-1时,若k=2,此时S2=0,故S2,S4-S2,S6-S4不是等比数列,故D错误.故选BC. 变式 (1)D (2)AC [解析] (1)对于A,B,若an=(-1)n,满足a6>0,但S6=0,故A,B错误; 对于C,若an=(-1)n+1,满足a5>0,但S5=1>0,故C错误; 对于D,设{an}的公比为q,若a5>0,即a1q4>0,则a1>0, 当q>0时,an>0,则S5>0, 当q<0时,1-q>0,1-q5>0,所以S5=>0, 故D正确.故选D. (2)由等差数列的性质可知A正确; 对于B,当{an}的公比为1时,对任意m,n,p,q∈N*,都有am·an=ap·aq,故B错误; 对于C,设{an}的公差为d,则(S10-S5)-S5=a6+a7+a8+a9+a10-(a1+a2+a3+a4+a5)=25d, (S15-S10)-(S10-S5)=a11+a12+a13+a14+a15-(a6+a7+a8+a9+a10)=25d, 所以S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,故C正确; 对于D,当an=(-1)n时,S4=0,所以S4,S8-S4,S12-S8不成等比数列,故D错误.故选AC. 题型三 例3 (1)C (2)AC [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d, 则S3=3a1+d=3a1+3d,S16=16a1+d=16a1+120d,∵S3=S16,∴3a1+3d=16a1+120d,即d=-a1,又a1>0,∴d<0, ∴数列{an}是递减数列.点(n,Sn)在开口向下的二次函数的图象上, ∵S3=S16,∴点(3,S3)与点(16,S16)关于直线x=对称, ∴当n=9或n=10时,Sn取得最大值.故选C. (2)由题意可知S31-S30=a31<0,故A正确; 因为S32-S31=a32>0,所以d=a32-a31>0,故B不正确; 因为d>0,a31<0,a32>0,所以a1<…
0, 所以S61==61a31<0,S62==31(a31+a32)>0, 所以使Sn<0成立的n的最大值为61,故D不正确. 故选AC. 变式 (1)ABD (2)ABD [解析] (1)等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=dn+a1-d. 对于A,由an=dn+a1-d,可得a2n-1=d( ... ... 