第五章 微突破（一） 求数列的通项公式常用方法（课件 学案 练习）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第三册

微突破(一)　求数列的通项公式常用方法 例1　解:(1)因为a1=1,an+1=2+1,所以a2=2+1=2+1=3. (2)方法一:由an+1=2+1,得2=an+1-1, 可得4Sn=(an+1-1)2.当n≥2时,4Sn-1=(an-1)2, 两式相减得4an=(an+1-1)2-(an-1)2,化简得(an+1-an-2)(an+1+an)=0. 因为数列{an}的各项均为正数,所以an+1-an-2=0,即an+1-an=2, 又a2-a1=3-1=2,所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以an=1+2(n-1)=2n-1. 方法二:由an+1=2+1,得Sn+1-Sn=2+1,所以Sn+1=(+1)2. 因为an>0,所以Sn>0,所以=+1, 所以数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,所以Sn=n2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又a1=1符合上式,所以an=2n-1. 例2　解:由条件知an+1-an=2n+n,所以a2-a1=21+1,a3-a2=22+2,a4-a3=23+3,…,an-an-1=2n-1+n-1(n≥2),上述式子累加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n-1+n-1)(n≥2),所以an-a1=(21+22+…+2n-1)+(1+2+…+n-1)=2n-2+(n≥2),所以an=2n+(n≥2),又a1=2也符合上式,所以an=2n+. 例3　解:因为=,所以=,=,=,=,…,=(n≥2),上述式子累乘得····…·=××××…×(n≥2),即=××××…×=(n≥2),所以an=×=(n≥2),又a1=也符合上式,所以an=. 例4　(1)4×3n-1-2　[解析] ∵an=3an-1+4(n≥2), ∴an+2=3(an-1+2)(n≥2),易知an+2≠0, ∴{an+2}为等比数列,其首项为4,公比为3,∴an+2=4×3n-1,∴an=4×3n-1-2. (2)解:由an+1=,得==1+, 则+=3.所以是首项为,公比为3的等比数列, 所以+=×3n-1=,所以an=.微突破(一)　求数列的通项公式常用方法 ◆ 方法一　由数列前n项和求通项公式 已知Sn=f(an)或Sn=f(n)求an的解题步骤: 第一步,利用Sn满足的条件,写出当n≥2时,Sn-1的表达式; 第二步,利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式; 第三步,若求出了n≥2时{an}的通项公式,再根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并,若不成立,则写成分段形式. 例1 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1. (1)求a2的值; (2)求数列{an}的通项公式. ◆ 方法二　累加法 求形如an+1=an+f(n)的通项公式,将原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即由a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)(n≥2),累加可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)(n≥2). 例2 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+n,求数列{an}的通项公式. ◆ 方法三　累乘法 求形如an+1=f(n)an的通项公式,将原递推公式转化为=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由=f(1),=f(2),…,=f(n-1)(n≥2),累乘可得=f(1)f(2)·…·f(n-1)(n≥2). 例3 在数列{an}中,a1=,=(n∈N*),求{an}的通项公式. ◆ 方法四　待定系数法 形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下: 第一步,假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t); 第二步,由待定系数法,解得t=; 第三步,写出数列的通项公式; 第四步,写出数列{an}的通项公式. 例4 (1)[2023·湖北襄阳一中高二期末] 设数列{an}满足a1=2,且an=3an-1+4(n≥2),则数列{an}的通项公式为an=　　　　　　. (2)在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),求数列{an}的通项公式.微突破(一)　求数列的通项公式常用方法 1.B　[解析] Sn=n(n+3),当n=1时,a1=4,当n≥2时,Sn-1=(n-1)(n+2),则an=Sn-Sn-1=n(n+3)-(n-1)(n+2)=2n+2,又a1=4符合上式,所以an=2n+2,n∈N*.故选B. 2.A　[解析] 因为=2·(n≥2),所以an=··…··a1=2××2××…×2××1=(n≥2),所以a10==.故选A. 3.D　[解析] 当n≥2时,an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=2n+2n-1+…+22==2n+1-4,则an=2n+1-4+a1=2n+1-2(n≥2),所以a6=126.故选D. 4.B　[解析] 当n≥2时,Sn-1=3an+t,所以an=Sn-Sn-1=3an+1-3an,则=.因为数列 ... ...