第五章 微突破（二） 数列求和常用方法（课件 学案 练习）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第三册

微突破(二)　数列求和常用方法 例1　解:∵f(x)+f(1-x)=1,∴f+f=1.∵an=f(0)+f+f+…+f+f(1)①,∴an=f(1)+f+f+…+f+f(0)②,由①+②得2an=n+1,∴an=,故数列{an}的通项公式为an=. 例2　解:(1)根据题意得 可得所以an=-2+(n-1)×4=4n-6. (2)由题意知,bn=an+32n-3, 所以Tn=a1+a2+a3+…+an+3-1+31+33+…+32n-3=+=n(2n-4)+. 例3　解:因为Sn=2an-2,所以Sn-1=2an-1-2,n≥2, 两式相减得an=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1,n≥2,因为S1=2a1-2,即a1=2, 所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n, 所以===2, 所以T100=2×=2=-. 例4　解:(1)由Sn+1=an知, 当n≥2时,Sn-1+1=an-1,两式相减得(Sn-Sn-1)=an-an-1,即an=an-an-1,整理得an=2an-1. 当n=1时,S1+1=a1,所以a1=2, 所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n. (2)由题可得an+1-an=(n+1)dn,即2n+1-2n=(n+1)dn,所以dn=, 则=,所以Tn=+++…+①, 则Tn=+++…+②, 由①-②得Tn=1++++…+-=1+-=-, 所以Tn=3-.微突破(二)　数列求和常用方法 ◆ 方法一　倒序相加法 如果一个数列满足与首末两项等“距离”的两项之和等于首末两项之和,那么这个数列的前n项和即可用倒序相加法来求,如等差数列的前n项和公式就是用此方法推导的. 例1 已知函数f(x)对任意的x∈R,都有f(x)+f(1-x)=1,若数列{an}满足an=f(0)+f+f+…+f+f(1),求数列{an}的通项公式. ◆ 方法二　分组求和法 如果一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减. 例2 [2023·重庆八中高二期中] 在公差不为0的等差数列{an}中,其前n项和为Sn,且满足a3=S3,3S4=4a2a3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Tn. ◆ 方法三　裂项相消法 把数列的通项公式拆成两项的差,求和时可正负相消,最后只剩下首尾若干项. 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,求数列的前100项和T100. ◆ 方法四　错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此方法推导的. 例4 [2023·浙江大学附中高二期中] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)在an和an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,求数列的前n项和Tn.微突破(二)　数列求和常用方法 1.C　[解析] ∵a1=1,an+1= ∴a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7,a6=2a5=14,∴{an}的前6项的和是1+2+3+6+7+14=33.故选C. 2.A　[解析] S2023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2018+a2019+a2020)+(a2021+a2022+a2023)=+++…++==675.故选A. 【技巧】 在进行并项求和时,若数列总项数除以需要进行合并计算的几项的项数后有余数,余数是几,一般从首项开始,就要有几项进行单独计算,然后对剩余项再进行并项求和,而不是从首项开始进行并项,留最后几项单独计算,这样做的目的是减小计算量. 3.C　[解析] 因为a1=3,an+1=,所以a2==-2,a3==-,a4==,a5==3,…,所以数列{an}是以4为周期的周期数列,所以{an}的前2024项和为a1+a2+a3+…+a2024=506(a1+a2+a3+a4)=.故选C. 4.D　[解析] 设数列{an}的前n项和为Sn,由题意得S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2+2+…+2=2×50=100.故选D. 5.A　[解析] ==,则Tn==<,因为对任意的n∈N*,不等式m2-2m>6Tn恒成立,所以m2-2m≥6×,解得m≥3或m≤-1.故选A. 6.A　[解析] ∵数列{an}为等差数列,其首项为1,公差为2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1. ∵数列{bn}为等比数列,其首项为1,公比为2,∴bn=1×2n-1=2n-1,∵cn==2×2n-1-1=2n-1, ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=-n=2n+1-2-n. ∵对任意的n∈N*,cn>0,∴数列{Tn}是递增数列, 又T9=210-2-9=1013<2024,T10=211-2-10=2036>2024, ... ...