第五章 单元素养测评卷（含解析）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第三册

单元素养测评卷(一) 1.D　[解析] 将数列,-,,-,…变为,-,,-,…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2,再结合各项的符号,可知其通项公式可以为an=(-1)n-1. 2.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a1=1,a5=5,所以q4==5,所以q2=,所以a3=a1q2=. 3.C　[解析] ∵{an}是等差数列,∴a8+a24=2a16,即24+a24=2×8,解得a24=-8.故选C. 4.C　[解析] 因为等差数列{an}中,a1>a2>0,所以数列{an}是递减数列,又a7+a8=0,所以a7>0,a8<0,所以Sn取得最大值时,n=7,故选C. 5.D　[解析] 第1代“勾股树”中正方形的个数为1+2=3,面积的和为2;第2代“勾股树”中正方形的个数为1+2+22=7,面积的和为3;第3代“勾股树”中正方形的个数为1+2+22+23=15,面积的和为4……第n代“勾股树”中正方形的个数为1+2+…+2n=2n+1-1,面积的和为n+1.故选D. 6.A　[解析] 因为=+,所以-=,所以{}是首项为==2,公差为的等差数列,所以=2+(n-1)=(n+1),所以an=2(n+1)2.故选A. 7.D　[解析] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,又a1=S1=2a1-1,所以a1=1,所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,即an=2n-1.由an=2n-1<2025得n-1≤10,即n≤11,故数列{an}中的所有“和谐项”之和为S11==2047.故选D. 8.A　[解析] 由题意得2n+≥6+,∴-≤2n-6,即k·≤2(n-3).当n=3时,k∈R,不等式恒成立;当n≥4时,k≤6n,n∈N*;当n=2时,k≥12;当n=1时,k≥6.综上,实数k的取值范围为[12,24],故选A. 9.BC　[解析] 由题可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,所以S15==15a8为定值,但S16==8(a8+a9)不是定值.故选BC. 10.ACD　[解析] 由题意可得===,则====3+.若为整数,则n+1为15的正约数,又n+1≥2,所以n+1的可能取值为3,5,15,因此,正整数n的可能取值为2,4,14.故选ACD. 11.ABC　[解析] 由3an+1=2an+2,得3an+1-6=2an+2-6,则=, 因此{an-2}是以3-2=1为首项,为公比的等比数列, 故an-2=,故an=+2. 对于A,a3=+2=,故A正确; 对于B,(an+1-2)-(an-2)=-===-1, 所以数列{(an-2)}是等差数列,故B正确; 对于C,因为a2n=+2, 所以{a2n}的前n项和为+2n=+2n,故C正确; 对于D,an+1+=+2+≥2+2=4, 当且仅当=,即n=0时取等号,因为n是正整数, 所以上述不等式等号不成立,即an+1+>4,故D不正确. 故选ABC. 12.6　[解析] 每天种植树木的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,则该数列的前n项和Sn=,由Sn≥100,得2n≥51,因为25=32,26=64,所以n≥6,故至少需要的天数为6. 13.4072　[解析] 因为an=logn+1(n+2)(n∈N+),a1a2…ak为整数, 所以log23×log34×…×logk(k+1)×logk+1(k+2)=log2(k+2)为整数. 设log2(k+2)=m,则k+2=2m,k=2m-2. 因为211-2=2046,所以[1,2046]内所有的“理想数”为22-2,23-2,24-2,…,210-2,211-2, 其和为22-2+23-2+24-2+…+210-2+211-2=-20=4072. 14.8　[解析] 由题意可知,OA11=4 cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去,在OA11方向上的距离的范围,即可确定培养皿的半径的范围.依题意可知黏菌每次繁殖在OA11方向上前进的距离依次为4,2×,1,×,,×,…,则4+2×+1+×=5+>5+=7,又黏菌无限繁殖下去,每次繁殖在OA11方向上前进的距离之和为+×<+×=<=8,故培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为8. 15.解:(1)由an=+++…++, 得2an=+++…++, 两式相减,得-an=+++…++-n=-n=1--n,所以an=n-1+. (2)由(1)得a2n=2n-1+,所以Sn=+++…++ =[1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)]+ =+=n2+-. 16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a6=-5,S4=-62, 所以a1+5d=-5,4a1+6d=-62,解得a1=-20,d=3, 所以an=a1+(n-1)d=-20+3(n-1)=3n-23. (2)令an=3n-23≥0,解得n≥, 所以当n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0. 当n≤7时,Tn=-a1-a2-…-an=-(a1+a2+…+an)=-=-=-; 当n≥8时,Tn=-a1-a2-…-a7+a8+a9+…+an=-2(a1+a2+…+a7)+(a1+a2+…+an)=+154. 综上,Tn= 17.解:(1)证明:由题易知an+1>0 ... ...