(
课件网) 6.1 导数 6.1.1 函数的平均变化率 探究点一 平均变化率 探究点二 平均变化率的几何意义 探究点三 平均速度 【学习目标】 1.掌握平均变化率的概念； 2.能熟练计算函数在指定区间上的平均变化率； 3.能理解平均变化率的实际意义. 知识点一 函数的平均变化率 1.函数的平均变化率 一般地,若函数的定义域为，且,, , ,,则称 _____为自变量的改变量；称 或 为相应的因变量的改变量；称 _____（或_ _____）为函数在以, 为端点 的闭区间上的平均变化率，其中“以, 为端点的闭区间”，在 时指的是，而时指的是 . 2.函数的平均变化率的实际意义 平均变化率的实际意义是，在以, 为端点的闭区间上，自变量 每增加1个单位，因变量平均将增加 个单位.因此，如果自变量 增加 个单位，那么因变量将增加_____个单位. 依照定义可知，函数在一个区间内的平均变 化率，等于这个区间端点对应的函数图象上 两点连线的斜率.例如，图中函数 在 上的平均变化率，等于直线 的斜率， 其中, . 因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的 曲线（即函数图象）在某一区间上的变化趋 势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾 斜程度是平均变化率的“直观化”. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）表示，是相对于的一个增量， 的值可正可负， 但不可为零. ( ) √ （2）表示， 的值可正可负，也可以为零. ( ) √ （3）表示曲线上两点， 连线的斜率. ( ) √ （4）函数在区间上的平均变化率为 . ( ) × （5）当平均变化率等于0时,说明函数在该区间上一定为常数. ( ) × [解析] 当平均变化率 时,并不能说明函数在该区间上一定为常数. 例如函数在区间上的平均变化率是0,但 在 上 不是常数. 2.求函数在区间 上的平均变化率,并思考当 ,时,平均变化率随, 的变化情况. 解：由平均变化率的定义可得函数在区间 上 的平均变化率. 当,时,,且 或 为定值时,平均变化率随着另一 个值的增大而增大. 知识点二 平均速度与平均变化率 平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢.如果物体运动的位 移与时间的关系为，则物体在时 或 时这段时间内的平均速度为_ _____ .这就是 说，物体在某段时间内的平均速度等于 在该段时间内的平均 变化率. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若物体在某段时间内的平均速度为零，则此段时间内该物体处 于静止状态. ( ) × （2）进行匀速直线运动的物体，在任何时间段内， 的平均 变化率都相等. ( ) √ 探究点一 平均变化率 例1 已知函数 . （1）求在区间 上的平均变化率； 解：由题得， 所以 在 上的平均变化率为0.9. （2）求在区间 上的平均变化率. 解：因为 ， 所以函数在区间 上的平均变化率为 . 变式（1） [2024·江苏连云港灌南中学高二月考]函数 在区间 上的平均变化率为( ) A.1 B.2 C. D.0 [解析] 在区间 上的平均变化率为 ，故选A. √ （2）已知函数，分别计算在自变量 从1变到2和从 3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快. 解：自变量从1变到2时，函数 的平均变化率为 ； 自变量从3变到5时，函数 的平均变化率为 . 因为，所以函数在自变量 从3变到5时函数值变化 得较快. ［素养小结］ 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自 变量的增量与函数值的增量 .求平均变化率的主要步骤： 探究点二 平均变化率的几何意义 ［提问］ 若函数的图象上有两点, , 则_ _____，函数在区间 上的平均变化率 _ _____. 例2 已知和为函数 的图 象上的两点，若直线的斜率为2，求 的值. 解：直线的斜率即为函数在以1， 为端点的闭区间上的 平均变化率 . ， 直线的斜率为 . 又 直线的斜率为2，， ... ...
