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课件网) 6.1 导数 6.1.2 导数及其几何意义 探究点一 瞬时速度 探究点二 导数的定义及其应用 探究点三 导数几何意义的简单应用 探究点四 求曲线的过某定点的切线方程 【学习目标】 1.理解瞬时变化率的概念与求法； 2.能求出函数在某一点处的导数； 3.理解导数的几何意义. 知识点一 瞬时变化率与导数 1.一般地，设函数在附近有定义，自变量在 处的改 变量为,当无限接近于0时，若平均变化率 _____无 限接近于一个常数，那么称常数为函数在 处的瞬时变 化率.此时，也称在处可导，并称为在 处的导数， 记作_____. 2.“当无限接近于0时，无限接近于常数 ”常用符号“ ”（读作“趋向于”）表示为当时， ,或者 写成，即 _ _____. 由上式可以看出，当很小时， ,从而 . 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）瞬时速度就是平均变化率. ( ) × （2）瞬时速度是在某一时刻的速度. ( ) √ （3）函数在处的导数反映了函数在区间 上变化的 快慢程度. ( ) × （4）设，则，则趋向于0时，趋向于 ， 因此 . ( ) √ （5）函数在处的导数值与 的正、负无关. ( ) √ 2.平均变化率和瞬时变化率有怎样的区别和联系 解：区别：平均变化率刻画函数值在区间 上变化的快慢, 瞬时变化率刻画函数值在 处变化的快慢. 联系：当趋向于0时,平均变化率 趋向于一个常数,这个常数即为 函数在 处的瞬时变化率,它是一个固定值. 知识点二 导数的几何意义 1.曲线在某点处的切线：如图，设 是平面上的 一条曲线，是曲线上的一个定点，是曲线 上附近的点，则称直线为曲线 的割线，如 果无限接近于时，割线 无限接近于通过 直线为曲线在点处的切线 的一条直线 ，则称_____. 2.导数的几何意义：_____就是曲线在点 处 （也称在 处）的切线的斜率. 3.切线的方程：曲线在点 处的切线的方程是_____ _____. 【诊断分析】 若直线是函数的图象的一条切线,则直线 与 函数 的图象是否一定只有一个公共点 解：不一定. 如图,直线与曲线在点处相切,但直线与曲线 还有其他公共点. 曲线在某点处的切线只是一个局部概念,是该点处割线的极限情况. 探究点一 瞬时速度 ［提问］ （1）函数在 处的导数是函数在该点处平均 变化率的极限,即_____. （2）若为物体的运动方程,则表示物体在时刻 的 _____. 瞬时变化率 瞬时速度 （3）当趋向于0时,平均速度 有什么样的变化趋势 解：当趋向于0时,平均速度 趋向于一个确定的值.从物理的角度看, 时间间隔无限变小时,平均速度 就无限接近于某时刻的瞬时速度. 例1 一个做直线运动的物体的位移（单位：）与时间（单位： ） 之间的关系是,且 . （1）求此物体的初速度; 解：此物体的初速度即为 时的瞬时速度,故初速度 （2）求此物体在到 之间的平均速度； 解：此物体在到 之间的平均速度 . （3）求此物体在 时的瞬时速度. 解：此物体在 时的瞬时速度 , 即此物体在时的瞬时速度的大小为 ,方向与初速度方向相反. 变式（1） 以初速度垂直上抛的物体， 时刻的高度为 ，则物体在 时刻的瞬时速度为_____. [解析] ， ，， 即物体在 时刻的瞬时速度为 . （2）一质点按规律做直线运动（位移的单位:,时间 的单位:）,若该质点在时的瞬时速度为,则常数 ___. 2 [解析] ,, 则该质点在 时的瞬时速度为, 由题意得, . ［素养小结］ 求物体运动的瞬时速度的步骤： ①由物体运动的位移与时间的函数关系式 求出位移变化量 ； ②求物体在到之间的平均速度 ； ③求的值,即得 时的瞬时速度. 探究点二 导数的定义及其应用 ［提问］ 观察函数在 处的导数的定义式 ,探究下列问题： （1）设函数在处可导,则当时, 的 值与, 的值都有关吗 解：函数在处的导数即为函数在 处的 瞬时变化率,是一个局部概念,只 ... ...
