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课件网) 6.1 导数 6.1.3 基本初等函数的导数 探究点一 应用公式直接求解函数的导数 探究点二 利用导数公式求切线方程 探究点三 导数公式的简单应用 【学习目标】 1.五个常用的幂函数涵盖了简单的初等代数变换,熟练掌握幂函 数的导数求解的方法和思路; 2.熟记基本初等函数的导数公式表,并会灵活应用. 知识点一 常数函数与幂函数的导数 1.导数的定义 一般地，如果函数在其定义域内的每一点 都可导，则称 可导.此时，对定义域内的每一个值 ,都对应一个确定的导数 .于是，在的定义域内， 是一个函数，这个函数通常称 为函数的_____，记作或, ，即 _____.导函数通常也简称为导数. 导函数 2.常数函数与幂函数的导数 原函数 导函数 0 1 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,则 . ( ) × （2）导函数是常数函数的函数一定是正比例函数. ( ) × [解析] 常数函数的导函数也是常数函数. 2.根据所学知识，请分析一下与 的区别与联系. 解： 区别 联系 知识点二 常用函数的求导公式 ___,_____,_____,_____, _____, _____. 0 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知,则 .( ) × [解析] 因为是常数函数,所以 . （2）若，则 .( ) × [解析] . 2.幂函数 为有理数 的导函数有何特点？ 解：幂函数 的导函数为 ， 其系数等于原函数的幂指数，其幂指数等于原函数的幂指数减去1. 探究点一 应用公式直接求解函数的导数 例1 求下列函数的导数： （1） ； 解：因为，所以 . （2） ； 解：因为，所以 . （3） ； 解：因为，所以 . （4） ； 解：因为，所以 . （5） ； 解：因为，所以 . （6） ； 解：因为，所以 . （7） . 解：因为,所以 ［素养小结］ 求简单函数的导函数有两种基本方法： （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂； （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度. 解题时根据所给函数的特征，必要时进行合理变形、化简,再求导. 探究点二 利用导数公式求切线方程 例2 求满足下列条件的直线方程： （1）过原点且与曲线 相切； 解：，设过原点的切线的切点为 ， 切线方程为，则 . 因为切点为，所以 ， 所以，所以所求切线方程为 . （2）斜率为且与曲线 相切. 解：因为切线的斜率为，所以，得 ， 则切点为，所以所求切线方程为，即 . 变式 [2024·深圳外国语学校高二月考]已知函数 的图象在 点处的切线与直线平行，则实数 的值为 ( ) A. B. C.2 D. [解析] 由题意可得， 曲线在点 处的切线的斜率， 该切线与直线 平行， .故选D. √ ［素养小结］ 利用导数公式求切线方程的一般步骤： （1）设切点坐标为 ; （2）求 ,即切线的斜率; （3）得切线方程,将及用 表示; （4）将已知定点坐标代入; （5）解方程求 ,化简写出切线方程. 解决此类问题时也可以应用过已知两点的直线的斜率公式与函数式 建立关于 的方程组,进而求解切线方程.求解此类问题的关键就是得 到与切点横坐标有关的方程组,进而解出 的值,从而确定切线斜率, 写出切线方程. 探究点三 导数公式的简单应用 例3（1） [2024·安徽合肥高二期末]若质点的位移（单位： ）与 时间（单位：）之间的函数关系式为 ，那么该质 点在时的瞬时速度（单位：）和从到 这两秒 内的平均速度（单位： ）分别为( ) A., B., C., D., [解析] ，所以该质点在时的瞬时速度为 ； 从到这两秒内的平均速度为 .故选D. √ （2）质点的运动方程是，则质点在 时的速度为__， 质点运动的加速度为_____. [解析] 由题意知质点的速度， , 即质点在时的速度为. ， 加速度 . 变式 （多选题）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图 象在这两点处的切线互相垂直，则称具有 性质.下列函数中 具有 性质 ... ...
