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课件网) 6.1 导数 6.1.4 求导法则及其应用 探究点一 导数运算法则的应用 探究点二 求解复合函数的导数 探究点三 应用求导法则求解切线问题 【学习目标】 1.类比数和向量的四则运算,感受导数的四则运算法则,会求简单 函数的导数; 2.能够利用复合函数的求导法则求复合函数 的导数. 知识点一 函数和、差、积、商的求导法则 1.函数和与差的求导法则 （1）如果,都可导，则 _____，即 两个函数之和的导数，等于_____. （2）如果,都可导，则 _____，即 两个函数之差的导数，等于_____. （3）上述法则可以推广到任意有限个函数，即 _____. 这两个函数的导数之和 这两个函数的导数之差 2.函数积的求导法则 当,都可导时，有 _____，即 两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第 一个函数乘以第二个函数的导数. 特别地，当是常数函数，即时， _____. 3.函数商的求导法则 当,都可导，且时，有 _ _____， 其中表示的是 .即两个函数的商的导数,等于分子的导数 与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方. 特别地，当时， _____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的导数为 . ( ) × [解析] . （2） . ( ) × （3）函数的导数为 . ( ) √ [解析] 函数，故 . （4）若函数的导数为,则 . ( ) × [解析] 若函数的导数为，则（ 为常数）. 知识点二 简单复合函数的求导法则 1.复合函数的定义 一般地,已知函数与,给定 的任意一个值，就能确 定的值.如果此时还能确定的值，则可以看成 的函数，此时称 有意义，且称为函数与 的复合 函数，其中___称为中间变量. 2.复合函数的求导法则 一般地,如果函数与 的复合函数为 ，那么复合函数的导数与， 之间 的关系为_____ _____，这一结 论也可以表示为_____. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数是由函数和 复合而成的． ( ) √ （2）函数的导数是 . ( ) √ （3）函数的导数为 . ( ) × [解析] . （4）若 ，则 ． ( ) × [解析] . 2.如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ 解：复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程． 在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找 出，再根据内层的主体函数结构找出函数 ， 函数和复合成函数 ． 3.设函数,,,如何求函数 的导数 解： . 探究点一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数. （1） ； 解：方法一： . 方法二： ， . （2） ； 解： . （3） . 解： . 变式 求下列函数的导数. （1） ； 解：因为 ， 所以 . （2） ; 解：因为 ， 所以 . （3） . 解：因为 ， 所以 . ［素养小结］ 应用导数运算法则的策略: （1）分析待求导式子符合哪种求导法则、每一部分式子是哪些形式， 确定求导法则、基本公式. （2）如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用 的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数 恒等变换后求导等. （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、 差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 探究点二 求解复合函数的导数 例2 [2024·山东东明一中高二月考] 求下列函数的导数. （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . （4） . 解： 变式 求下列函数的导数. （1） ； 解： . （2） . 解： . ［素养小结］ 应用复合函数的导数公式求导时,应把握好以下环节： （1）选取恰当的中间变量,使构成复合函数的基本函数符合导数公式 中的函数结构; （2）从外到内,层层“剥皮”,依次求导; （3）把中间变量转换成自变量的表达式. 探究点三 应用求导法则求解切线问题 ［提问］ 曲线在点处 ... ...
