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课件网) 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 第2课时 导数与函数单调性的应用 探究点一 已知函数的单调性求参数的取 值范围 探究点二 利用导数解决不等式问题 【学习目标】 1.会根据函数的单调性求参数的取值范围； 2.能利用导数解决不等式问题. 知识点一 导数与函数单调性的关系 （1）一般地,在区间 内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 _____ _____ _____ 单调递增 单调递减 常函数 （2）一般地,在区间 内函数的单调性与导数有如下关系： 函数的单调性 导数 单调递增 _____ 单调递减 _____ 常函数 _____ 【诊断分析】 观察如图所示的函数 图象,回答函数的单调性与其导数的正 负有何关系 解：（1）,故函数在区间 上是增函数. （2）,故函数在区间, 上是减函数. 在函数定义域的某个子区间上,导数为正,则函数单调递增, 导数为负,则函数单调递减. 知识点二 已知函数的单调性求参数的取值范围 （1）已知在区间上单调递增 _____在上恒成立 求 参数的取值范围. （2）已知在区间上单调递减 _____在上恒成立 求 参数的取值范围. 知识点三 利用导数证明不等式 证明,，可转化为证明 , ,若或 ,则只需证明 _____. 或 探究点一 已知函数的单调性求参数的取值范围 例1（1） 若函数在区间 上单调递 减，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 函数的定义域为 ， . 令,得， 函数 的单调递减区间为 在区间 上单调递减， 解得， 实数的取值范围是 . √ （2）若函数在区间 上存在单调递增区间， 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为在区间 上存在单调递增区间， 所以在区间上能成立， 即 在区间上有解， 因此，只需，解得 .故选D. √ 变式（1） 已知在上单调递增，则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由已知可得在上满足 ， 即在上恒成立， 又因为在 上的最小值为,所以 . 故选D. √ （2）[2024·四川蓬溪中学高二月考]若函数 在上不单调，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题得 . 因为函数在上不单调， 所以在 上有零点. 令，由 ，得. 令 ，则, 则,单调递增，又 ，所以， 故,所以实数的取值范围是 .故选D. √ （3）已知函数在， 上单调 递增，在上单调递减，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由，得 ， 因为在，上单调递增，在 上单调递减， 所以即解得， 所以实数 的取值范围为 .故选B. ［素养小结］ 利用导数解决含参函数的单调性问题的两个基本思路： （1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即 或 恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“ ”时是否满足题意.此类问题用到了一个非常重要的转化， 即恒成立的最大值； 恒成立 的最小值. （2）先令或 ,求出函数的单调区间，然后结合题 意得到参数的取值范围,再验证参数取“ ”时是否满足题意. 通常验证参数取“ ”这一步不影响结果时可省略. 拓展 已知函数的图象经过点 ，函数 的图象在点处的切线恰好与直线 垂直. （1）求实数， 的值； 解：的图象经过点 ， . ， ， 又的图象在点 处的切线恰好与直线 垂直， . 由①②解得， . （2）若函数在区间上不单调，求实数 的取值范围. 解：由（1）知， . 令，得或 . 函数在区间上不单调， 或， 解得或 ， 故实数的取值范围是 . 探究点二 利用导数解决不等式问题 ［提问］ 若函数在 上单调递增（减）,则： （1）_____ _____（_____ _____）; （2） _____（ _____）. 考向一 利用函数单调性比较大小 例2 已知函数，为 的导函数，若 ，，则与 的大小关系为( ) A. B. C. D.无法判断与 的大小关系 √ [解析] 由题意得，， 则 ，得， 所以,所以 ， 所以为减函数. 因为，所以 ， ... ...
