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课件网) 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.2 导数与函数的极值、最值 第1课时 利用导数研究函数的极值 探究点一 函数的极值（极值点）的判断和求解 探究点二 利用函数极值（极值点）求参数 探究点三 应用极值判断函数的零点问题 【学习目标】 1.利用图象直观感知极值的概念,明确极值点附近导数的符号特征; 2.感知极大值和极小值的差异，了解极值与单调区间的关系，会 求函数的极值; 3.体会导数在研究函数性质（单调性、极值和图象）中的工具性 作用. 知识点一 函数极值的定义 1.函数极值的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，设 ，如果对于 附近的任意不同于的 ，都有 ①，则称为函数的一个_____，且在 处取极大值； ②，则称为函数的一个_____，且在 处取极小值. 极大值点 极小值点 （2）极大值点与极小值点都称为_____，极大值与极小值都称为 _____.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函 数值最小. 极值点 极值 2.可导函数的极值与导数之间的关系 （1）一般地，如果是的极值点，且在 处可导，则 必有_____. （2）一般地，设函数在处可导，且 . ①如果对于左侧附近的任意，都有_____，对于 右侧附近 的任意，都有_____，那么此时是 的极大值点. ②如果对于左侧附近的任意，都有_____，对于 右侧附近 的任意，都有_____，那么此时是 的极小值点. ③如果在 的左侧附近与右侧附近均为_____（或均为_____）， 则一定不是 的极值点. 正号 负号 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在极值点处的导数为0. ( ) × [解析] 例如函数，根据极小值的定义， 函数 在处取得极小值，但是 不存在. （2）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. ( ) √ （3）若,则是函数 的极值点. ( ) × [解析] 例如函数,,则, 但当 和时均有,所以0不是函数 的极值点. （4）已知为可导函数的极值点，则 的图象在点 处的切线与 轴平行或重合. ( ) √ 知识点二 求函数极值的步骤 求可导函数 的极值的步骤如下： （1）在 的定义域内,求_____. （2）求方程 的根. （3）判断在根的左右两侧的符号.如果左____右____,那么 在这个根处取极大值;如果左负右正,那么 在这个根处取_____; 如果左右符号相同,那么这个根不是 的极值点. 导函数 正 负 极小值 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的极大值一定比极小值大. ( ) × [解析] 极大值与极小值之间无确定的大小关系, 即一个函数的极大值未必大于极小值. （2）在某一区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的. ( ) × [解析] 可导函数的图象如图所示, 由图可知， ，为极小值点,，，为极 大值点,故函数 在区间 内的极大值和极小值有多个. （3）若在某区间内有极值，那么 在该区间内不单调. ( ) √ 探究点一 函数的极值（极值点）的判断和求解 ［提问］ （1）如果,并且在附近的左侧 , 右侧,那么 是_____； （2）如果,并且在附近的左侧 ,右侧 ,那么 是_____. 极大值 极小值 考向一 求不含参数的函数的极值 例1 求函数 的极值. 解：，令，即 ， 解得或.当变化时，， 的变化情况如下表： 3 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此，当时，函数有极大值，且极大值为 ； 当时，函数有极小值，且极小值为 . 变式 已知是定义域为的偶函数，当 时， ，则函数 的极小值是_____，极大值是__. [解析] 当 时， . 当时，； 当时， ，当且仅当 时取等号. 因此函数在上单调递减，在 上单调递增， 又是定义域为的偶函数， 所以函数在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数在,处取得极小值 ； 在处取得极大值 ． 考向二 求含参数的函数的极值 例2 已知函数,其中, ... ...
