习题课 导数的综合应用 1.D [解析] 由f(x)=xln x≤,得m≥,则问题转化为m≥. 令g(x)=2ln x+x+,则g'(x)=+1-=, 当x>1时,g'(x)>0,当0
g(x2)成立, 所以 x∈(0,1],使得ln(x+1)-ax2<0成立,即a>成立, 令h(x)=,x∈(0,1],则a>h(x)min. h'(x)==, 令φ(x)=-2ln(x+1),x∈(0,1], 则φ'(x)=-=<0, 所以φ(x)在(0,1]上单调递减,所以φ(x)<φ(0)=0, 所以h(x)在(0,1]上单调递减, 所以h(x)min=h(1)=ln 2, 所以a>ln 2.故选A. 3.C [解析] 令f(x)=ex-ln x,则f'(x)=ex-(x>0),令h(x)=ex-(x>0),则h'(x)=ex+>0恒成立, 所以f'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,又f'=-e<0,f'(1)=e-1>0, 所以在上必然存在唯一的x0,使得f'(x0)=0, 所以当x∈(0,x0)时,f(x)单调递减,当x∈(x0,1)时,f(x)单调递增,故A,B错误; 令g(x)=,则g'(x)=,当0,即x2>x1,故C正确,D错误.故选C. 4.ABD [解析] 令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减, 所以f(x)min=f(0)=0,所以ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号). 令g(x)=x-1-ln x,x∈(0,+∞),则g'(x)=1-=, 当x>1时,g'(x)>0,当00时,ex>x+1>x>x-1≥ln x,所以ln x1时,h'(x)>0,当0xex, 令f(x)=xex,则f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)min=f(-1)=-,当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→+∞. 在同一平面直角坐标系中,作出f(x)与y=a(x-2)(过定点(2,0))的图象,如图所示, 由图可知,满足题意的负整数解为-1,则应满足解得≤a<. 故实数a的取值范围为. 6. [解析] 由题意可知,m+a≥x3-x对 x∈[0,1]恒成立,且a-m≤x3-x对 x∈[0,1]恒成立. 令f(x)=x3-x,x∈[0,1],则f'(x)=3x2-1,当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0, 所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=-,f(x)max=f(0)=f(1)=0,所以则原问题等价于 a∈R,使得-m≤a≤m-成立,则-m≤m-,解得m≥.故实数m的取值范围为. 7.C [解析] 当x≤0时,f(x)=(x+1)2-1,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0]上单调递增; 当x>0时,f(x)=,则f'(x)=, 令f'(x)>0,得0e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, f(e)=,当x>1时,f(x)>0恒成立. 在同一平面直角坐标系内作出直线y=a与函数y=f(x)的图象,如图, 由图可知,当-10,所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=e0+0-1=0, 所以当x<0时,g(x)<0,即h'(x)<0,当x>0时,g(x)>0,即h'(x)>0, 所以h(x)在(- ... ... 