(课件网) 华东师大版·八年级上册 12.3 等腰三角形 12.3.1 等腰三角形的性质 情境导入 这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？ 探究新知 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗 A B C D 我们可以发现： A B C D 1.等腰三角形是轴对称图形. 折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴. 2.∠B=∠C. 你能试着写出证明过程吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. B C 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD≌△ACD. 证明：如图，作∠BAC的平分线AD. D A 1 2 在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常作成虚线. 由此得到以下等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. B C D A 1 2 几何语言 ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 例1 在△ABC中，已知AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的度数. 解：∵ AB=AC， ∴ ∠C=∠B= 80°（等边对等角）. 又∵∠A+∠B+∠C= 180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠A= 180° ∠B ∠C = 180° 80° 80°=20°. 由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？ B C D A 重合的线段 重合的角 AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC 由此可得： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 几何语言 B C D A 1 2 （1）∵AB=AC，BD=CD(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC(三线合一). （2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD (已知)， ∴BD=CD，AD⊥BC(三线合一). （3）∵AB=AC，AD⊥BC(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD(三线合一). 【注意】（1）“三线合一”是等腰三角形所特有的性质； （2）“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题.（简记“知一推二”） 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°. （1）求∠ADC的度数；（2）求∠1的度数. 解：（1）∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一). ∴∠ADC=∠ADB=90°. （2）∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形的内角和等于180°)， ∠B=30°， ∴∠1=180° ∠B ∠ADB = 180° 30° 90°=60°. 如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？ A O B P Q 例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. A O B P Q 证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB. 在△APQ和∠BPQ中， ∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 又∵AP=BP， ∴ AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一). 因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP. 当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗？ 点C在直线AB上 P C A B 点C在直线AB外 C A B M N P 点C在直线AB上 P C A B 点C在直线AB外 C A B M N P 类似 相当于作线段 MN 的垂直平分线 类似垂直平分线的证明 就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线 A B C A B C AB=AC 等腰三角形 AB=AC=BC 等边三角形 三条边都相 ... ...
