(课件网) 华东师大版·八年级上册 12.4 逆命题和逆定理 12.4.2 线段垂直平分线 复习回顾 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A B C D O 对称轴：线段的垂直平分线 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（又名中垂线） 如何利用尺规作线段的垂直平分线呢？ A B 作法：1.分别以A、B两点为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧相交于C、D点； C D 2.过C、D两点作直线CD. 所以，直线CD就是所求. 线段的垂直平分线有哪些性质呢？ 探究新知 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点. A B M N C P 思考： 1.连结PA、PB，将线段沿直线MN对折，你会发现什么？ 2.换个点再试一试？ D 3.通过刚才的探究，你有什么猜想，如何验证？ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB. A B M N C P 思考： 如何说明PA=PB？ 分析：要得到PA=PB. △PAC≌△PBC AC=BC，∠PCA=∠PCB，PC=PC 请写出完整的证明过程. A B M N C P 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言 ∵MN⊥AB，AC=BC， ∴PA=PB. 点在线段垂直平分线上 距离（线段）相等 利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可以解决线段相等的问题. 即学即练 如图，在△ABC中，DE是边 AC的垂直平分线，若△ABC的周长为23，△ABD的周长为15，则AE的长为_____. 4 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知：如图，QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. A B Q 分析： 思路1：作垂线，证中点. 思路2：作中线，证垂直. A B Q 已知：如图，QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点Q作 MN⊥AB，垂足为点 C， M N C ∵ QA=QB，QC⊥AB， ∴ AC=BC (等腰三角形的三线合一). ∴ 点Q在线段AB的垂直平分线上. 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 线段垂直平分线的判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言 ∵QA=QB， ∴点Q在AB的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. A B Q M N C 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ A B C O m n l 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点． 这一点到三角形三个顶点的距离相等． 怎样证明这个结论呢？ 只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了. A B C O m n l l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 OA＝OB OB＝OC OA＝OC 点O在AC的垂直平分线n上 试试看，现在你会证明了吗？ A B C O m n l 证明：连接 OA，OB，OC. ∵ 点O在AB，AC的垂直平分线上， ∴ OA=OB，OA=OC (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等). ∴ OB = OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 练 习 1.如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB. 提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点. A B l P 2. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE. 求证：AB+CD=AD +CB. D A C B E 证明：∵BD⊥AC，AE=CE， ∴AD=CD，AB=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)， ∴A ... ...
