(课件网) 华东师大版·八年级上册 12.4 逆命题和逆定理 12.4.3 角平分线 情境导入 AB，AC，BC是某公园三条两两相交的小路，管理人员为了方便游人休息，打算修建一个凉亭，使凉亭P到三条小路的距离相等．请同学们帮助选好凉亭P位置． A B C 这要用到角平分线的知识. 怎么用呢？ 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A O B M N Q C 射线OC所在直线就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线. 探究新知 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. 将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. A O B C P D E 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能给出PD=PE的证明吗？ 下面我们来证明刚才得到的结论： 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. A O B C P D E 分析：要得到PD=PE. Rt△PDO≌Rt△PEO 请写出完整的 证明过程. A O B C P D E 证明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一点， ∴∠DOP =∠EOP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP =∠OEP=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP=OP， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (AAS). ∴PD=PE. 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. A O B C P D E 几何语言 ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 应用所具备的条件： 1.角的平分线； 2.点在该平分线上； 3.垂直距离. 证明线段相等又多了一种方法. 即学即练 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线 BD平分∠ABC，则△BCD的面积为_____. 7.5 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 逆命题：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. A O B Q D E 分析：作射线OQ，然后证明∠AOQ和∠BOQ所在的Rt△QDO和Rt△QEO全等. A O B Q D E 证明：如图，过点O、Q作射线OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°. 在Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵OQ=OQ，QD=QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL). ∴∠DOQ=∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角平分线的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. A O B Q D E 几何语言 ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 作用：判断点在角平分线上. 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ A B C F D E O 发现：三角形的三条角平分线交于一点． 怎样证明这个结论呢？ 只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了. A B C F D E O I G H AO是∠BAC的平分线 BO是∠ABC的平分线 OI＝OH OG＝OI OG＝OH 点O在∠BCA的平分线上 试试看，现在你会证明了吗？ A B C F D E O I G H 证明：过点O作OI⊥AB，OH⊥AC， OG⊥BC，垂足分别为点I、H、G. ∵BE是△ABC的角平分线，点O在BE上， ∴OG=OI. 同理OG=OH. ∴OI=OH. ∴点O在∠BAC的平分线上. 练 习 1.如图，在∠AOB的内部找出一点P，使得点P在直线l上，且点P到该角两边（即射线OA与OB）的距离相等. 提示：作∠AOB的平分线OP，它与l的交点P，即为所求的点. A B O l P 2.如图，△ABC的外角∠C ... ...
