4．2.2 等差数列的通项公式及性质 一、 单项选择题 1 (2024丹阳中学月考)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7的值为( ) A. 14 B. 12 C. 28 D. 36 2 已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( ) A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 3 (2024重庆二中期中)记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若a是a与a－2的等差中项，则d的值为( ) A. 0 B. C. 1 D. 2 4 已知等差数列{an}满足a1＝12，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是{an}中的一项，则d的可能取值有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个 5 (2024城阳实验高级中学月考) 在等差数列{an}中，已知a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，则数列{an}的通项公式可以为( ) A. an＝4n－1 B. an＝2n＋1 C. an＝－n＋ D. an＝n－ 6 定义高阶等差数列：对于一个给定的数列{an}，令bn＝an＋1－an，则称数列{bn}为数列{an}的一阶差数列，再令cn＝bn＋1－bn，则数列{cn}是数列{an}的二阶差数列．已知数列{An}为2，5，11，21，36，…，且它的二阶差数列是等差数列，则A8的值为( ) A. 45 B. 85 C. 121 D. 166 二、 多项选择题 7 在7和21之间插入n(n∈N*)个数，使这n＋2个数成等差数列，则该等差数列的公差可以是( ) A. B. 7 C. 5 D. 3 8 对于数列{an}，若a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则下列说法中正确的是( ) A. a4＝3 B. 数列{an}是等差数列 C. 数列{a2n－1}是等差数列 D. a2n＝2n－1 三、 填空题 9 (2024前黄中学月考)若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为_____． 10 (2024白蒲中学月考)已知等差数列{An}的首项为2，公差为8，在{An}中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}，则数列{an}的通项公式an＝_____． 11 已知数列{an}中，a1＝1，an－an＋1＝an＋1·an(n∈N*)，若8am＝1，则正整数m的值为_____． 四、 解答题 12 (2024海门实验中学月考)已知等差数列{an}，n∈N*，且满足a1＋a3＋a5＝9. (1) 求a3的值； (2) 若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求数列{an}的通项公式． 13 已知在数列{an}中，a1＝2，且满足an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2). (1) 求a2，a3的值； (2) 求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (3) 若an<λ·2n恒成立，求实数λ的取值范围． 4．2.2 等差数列的通项公式及性质 1. C 因为a3＋a4＋a5＝12，所以3a4＝12，则a4＝4.又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 2. D 因为{an}，{bn}为等差数列，所以{2an－3bn}为等差数列，设其公差为d，则d＝2an＋1－3bn＋1－2an＋3bn＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1. 3. C 设等差数列{an}的公差为d.因为a是a与a－2的等差中项，所以2a＝a＋a－2，即2(a1＋d)2＝a＋(a1＋2d)2－2，整理，得d2＝1.又d≥0，所以d＝1. 4. D 设等差数列{an}的公差为d，am＋an＝at，则a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝a1＋(t－1)d，可得a1＝(1＋t－m－n)d.又d∈N*，所以d是a1的正因数，故d∈{1，2，3，4，6，12}，共6个可能取值． 5. C 方法一：设{an}的首项为a1，公差为d.因为a3＋a8＋a13＝12，所以a1＋7d＝4，所以a1＝4－7d，代入a3a8a13＝28，整理，得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，解得d＝±.当d＝时，a1＝－，an＝n－；当d＝－时，a1＝，an＝－n＋. 方法二：因为a3＋a8＋a13＝3a8＝12，所以a8＝4，所以所以a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，所以或由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，所以an＝a3＋(n－3)d＝n－.同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋. 6. C 该数列的一阶差数列为3，6，10，15，…，则二阶差数列为3，4，5，….因为二阶差数列是等 ... ...
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