3.1.1 椭圆及其标准方程 第1课时 学案设计(一) 学习目标 (1)掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决实际问题. (2)理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题. (3)通过对椭圆的定义、标准方程的推导过程的学习,提高数学抽象素养. (4)借助标准方程的推导过程,提升逻辑推理、数学运算等素养. 自主预习 一、椭圆的定义 定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆.这 叫做椭圆的焦点, 叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为 . 定义的集合表示: . 二、椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 续 表 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 a,b,c的关系 c2= 课堂探究 思考1:仔细观察播放的视频,当用一个平面去截圆锥,当截面与轴所成角度不同时,得到的截口曲线的形状可能是什么 思考2:我们能否将椭圆的问题也用坐标法加以解决呢 合作探究一:椭圆的定义 思考3: 1.在纸板上作图说明了什么 2.在动手操作的过程中 (1)不变的是什么 (2)当两个图钉之间的距离等于绳长时,画出的图形是什么 (3)当两图钉固定,能使绳长小于两图钉之间的距离吗 能画出图形吗 【探究成果】 椭圆的几何特征: . 椭圆的定义: . 椭圆定义的集合表示: . 【小试牛刀】 例1 (1)判断正误 ①到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆. ( ) ②到两定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆. ( ) (2)到两定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对 合作探究二:椭圆的标准方程的推导 1.求动点轨迹方程的基本步骤: . 2.椭圆标准方程的探究 (1)建系: 思考4:如何建立适当的平面直角坐标系 (2)设点: 设M(x,y)为椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为 ,根据椭圆的定义,设点M与焦点F1,F2的距离的和等于常数 . (3)列方程:因为|MF1|=,|MF2|=,所以 . (4)化简方程: 思考5:如何化简上述带两个根号的式子 思考6:观察下图,你能从中找出表示a,c,的线段吗 令b=|OP|=,上述方程可化为 ; 椭圆的标准方程为 ; 此时,椭圆的焦点在 轴上,焦点坐标为 ; a,b,c的关系是 ; a,b,c的几何意义: . 思考7:如果焦点F1,F2在y轴上,并且点O与线段F1F2的中点重合,a,b,c的意义同上,椭圆的方程形式又如何呢 当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程是 . 焦点坐标: .a,b,c的关系是 . 【总结归纳】 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 不同点 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 图形 焦点坐标 共同点 定义 a,b,c的关系 焦点位置的判定 【学以致用】 例2 (1)椭圆=1的焦点坐标为( ) A.(5,0),(-5,0) B.(0,5),(0,-5) C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0) (2)已知椭圆中a=5,c=,焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为 . (3)a=5,c=4的椭圆的标准方程是 . (4)若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 . 跟踪训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点A(,-2)和点B(-2,1). 核心素养专练 1.已知A(-5,0),B(5,0),动点C满足|AC|+|BC|=10,则点C的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点 2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 3.(多选题)已知椭圆的标准方程为=1(m>0),且焦距 ... ...
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