13.3三角形的内角与外角 【知识点1】三角形内角和定理 1 【知识点2】三角形的外角性质 1 【知识点3】直角三角形的性质 2 【题型1】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 2 【题型2】三角形内角和定理的应用 5 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 9 【题型4】三角形内角和定理的证明 11 【题型5】利用三角形内角和定理求角度 12 【题型6】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 14 【题型7】直角三角形的两个锐角互余 18 【题型8】直角三角形定义 21 【题型9】三角形外角的概念 26 【题型10】折叠中的三角形内角和问题 29 【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 34 【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 38 【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识点2】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【知识点3】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 【题型1】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】把一副三角板按如图所示的方式摆放，使得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由三角板可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 的度数为. 【举一反三1】一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（ ） A.45° B.60° C.75° D.105° 【答案】C 【解析】解：由三角形的外角定理可知， ∠1＝45°+30°＝75°． 故选：C． 【举一反三2】将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图，由题意可知，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， . 【举一反三3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ． 【答案】105°． 【解析】解：如图， ∵∠3＝90°﹣60°＝30°，∠4＝90°﹣45°＝45°， ∴∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∴∠1＝∠2＝105°， 故答案为：105°． 【举一反三4】将一副三角板和按图示放置，直角顶点E恰 ... ...
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