(
课件网) 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程 探究点一 求圆的标准方程 探究点二 点与圆的位置关系的判定 探究点三 圆的标准方程的实际应用 探究点四 与圆有关的最值问题 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握圆的定义及标准方程; 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标准 方程. 知识点一 圆的标准方程 1.定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的_____是圆，其中定 点是_____，定长是_____. 2.标准方程：在平面直角坐标系中，设圆的圆心的坐标为 ,半径 为 ,则圆的标准方程是_____. 集合 圆心 圆的半径 3.常见的几种特殊的圆的方程的形式如下表: 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆与两坐标轴都相切 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( ) √ （2）方程 一定表示圆.( ) × [解析] 当时，方程表示一个点，当 时，方程表示一个圆. （3）圆的圆心坐标是 ，半径是4.( ) × [解析] 圆的圆心坐标是 ，半径是2. （4）若圆的方程为 ，则其圆心坐标为 .( ) × [解析] 圆的方程可化为 ,因此其圆心坐标为 . 知识点二 点与圆的位置关系 点与圆 的位置关系及判 断方法 位置关系 利用点到圆心的距离 判断 利用方程判断 = = > > < < 探究点一 求圆的标准方程 例1（1）求经过点，圆心为点 的圆的标准方程； 解：方法一：由题得圆的半径 ， 圆的标准方程为 . 方法二： 圆心为， 设圆的方程为 . 点在圆上，， ， 圆的标准方程为 . （2）已知圆的直径的端点为， ，求该圆的标准方程； 解：由已知得圆心坐标为，半径， 圆的标 准方程为 . （3）求过点,且圆心在直线 上的圆 的标准方程. 解：方法一：设点为圆心，则点在直线上. 设点 的坐标为， 该圆经过，两点， ， 即 ， 解得，，则圆的半径 ， 故所求圆的标准方程为 . 方法二：设所求圆的方程为， .由题知 可得 故所求圆的标准方程为 . 方法三：线段的中点的坐标为 ， 直线的斜率 ， 线段的垂直平分线的斜率， 线段 的垂直平分线的 方程为，即 . 由解得 圆心坐标为 ， 圆的半径 ， 故所求圆的标准方程为 . 变式（1）过点, 且半径最小的圆的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 易知所求圆以为直径，则所求圆的圆心为线段 的中点 ，半径 ，则所求圆的方 程为 .故选A. √ （2）已知圆的圆心在直线上，且和轴相切于点 ，则 圆 的标准方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设，，因为圆和轴相切于点 ，所以 ，即，则圆的半径，故圆 的标准方程为 .故选B. √ ［素养小结］ 求圆的标准方程的方法 （1）几何法：首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方 程.确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有 时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线 的交点必为圆心”等. （2）待定系数法:设方程
列方程组 （由已知条件,建立关于
,
,
的方程组）
解方程组（解方程组,求出
,
,
）
得方程（将
,
,
代入所设方程,即得所求圆的标准方程）. 拓展 已知,,, ,问这四点能否在同一个圆上 若 能在同一个圆上,求出圆的标准方程;若不能在同一个圆上,请说明理由. 解：设经过,, 三点的圆的标准方程为 , 则 解得 所以经过,, 三点的圆的标准方程是. 把点的坐标 代入圆的标准方程,得, 所以点在经过,,三点的圆上,故,, , 四点在同一个圆上, 且圆的标准方程为 . 探究点二 点与圆的位置关系的判定 例2 已知两点和,求以线段 为直径的圆的方程,并判 断点,, 与该圆的位置关系. 解：设所求圆 ... ...
