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课件网) 2.3 圆及其方程 2.3.2 圆的一般方程 探究点一 圆的一般方程的理解 探究点二 求解圆的一般方程及其应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的 位置和半径的大小； 3.能运用待定系数法确定圆的方程. 知识点 圆的一般方程 1.定义：当_____时，二元二次方程 称为圆的一般方程. 2.圆的一般方程的圆心和半径 圆的一般方程 表示的 圆的圆心为_____，半径为_____. 3. 表示的图形 方程 条件 图形 不表示任何图形 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ [解析] 圆的一般方程与标准方程可以互化,故正确. （2）二元二次方程 一定是某个圆的方程.( ) × [解析] 二元二次方程 表示圆的方程需满 足 ,故不正确. （3）若方程表示圆,则 .( ) √ [解析] 由圆的一般方程的定义知，即 . 2.（1）在圆的一般方程中,当或或 时,圆 的位置分别有什么 特点 解：当时,圆心在轴上;当时,圆心在轴上;当 时,圆 过原点. （2）二元二次方程 表示圆的等 价条件是什么 解：,, . 探究点一 圆的一般方程的理解 例1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径. （1） ； 解：，，， ， 方程不表示任何图形. （2） ； 解：，，， ， 方程表示点 . （3） . 解：方程两边同时除以2，得，则 ， ，，， ， 方程表示圆，它的圆心坐标为 ，半径 . 例1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径. 变式（1）“”是“方程 表示圆” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ [解析] 若方程 表示圆，则 ，解得或. 由“ ”可以推出“方程 表示圆”， 充分性成立； 由“方程表示圆”不能推出“ ”， 必要性不成立. 所以“”是“方程 表示圆”的 充分不必要条件.故选A. （2）［2025·广东深圳高二期末］已知圆 的方程为 ，若圆 的半径小于8，则 的取值范围 是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为圆 的方程为， 所以圆 的标准方程为 ，故 ，解得或，所以 的取值范围为 .故选D. ［素养小结］ 1.形如
的二元二次方程，判断其是否表示 圆时有如下两种方法： （1）由圆的一般方程的定义，若
成立，则表示圆， 否则不表示圆; （2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是
这种标准形式，若不是，则要先化为这 种标准形式再求解. 2.由圆的一般方程 求圆心和半径的方法： （1）利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求 出圆心和半径； （2）运用二元二次方程 判断是否为圆， 如果是，也可以利用公式 写出圆心，利用公式 求出半径. 探究点二 求解圆的一般方程及其应用 例2 ［2025·上海七宝中学高二期中］若圆过点， ， . （1）求圆 的一般方程； 解:设圆 的一般方程为 ， 则解得 故圆 的一般方程为 . （2）求圆关于直线对称的圆 的标准方程. 解:由（1）得圆的圆心为，半径，则圆 的半径为2. 设，则解得故圆 的标准方程为 . 例2 ［2025·上海七宝中学高二期中］若圆过点， ， . 变式 已知点，，， 在同一个圆上，则这 个圆的一般方程为_____. [解析] 设圆的一般方程为 , 将点，， 的坐标代入上式得解得 满足，则， 点的坐标 也满足 ， 故所求圆的一般方程为 . 例3 ［2025·江苏徐州高二期中］已知 的三个顶点分别为 ,, . （1）求的外接圆 的一般方程. 解：方法一：设圆的一般方程为 ，则 解得所以圆 的一般方程为 . 方法二：因为,,，所以, ... ...
