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课件网) 2.3 圆及其方程 2.3.4 圆与圆的位置关系 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 探究点二 两圆公共弦问题的解决 探究点三 圆系方程问题 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解圆与圆的位置关系的种类; 2.掌握圆与圆的位置关系的判定方法,能够判定两圆的位置关系; 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题. 知识点 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系主要包括:_____、_____、_____、_____和 _____. 2.两圆的位置关系的判断： 外离 外切 相交 内切 内含 （1）代数法：设两圆的一般方程为 ， ，联立方程 得 消元后得到一元二次方程 （若得到的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断），计 算判别式 的值，按下表中标准进行判断. （2）几何法：两圆的半径分别为，，计算两圆的圆心距 ，按 下表中标准进行判断. （3）判断标准： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 _____ _____ _____ _____ _____ 公共点 个数 0 1 2 1 0 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）联立两圆方程,若方程组有两个解,则两圆相交.( ) √ [解析] 由两圆相交的概念知结论正确. （2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( ) × [解析] 若两个圆没有公共点，则两圆可能外离也可能内含，故结论 不正确. （3）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点；反之也成立.( ) × [解析] 两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，该结论正确；但反之 不成立，即若两圆有且只有一个公共点，则两圆可能外切也可能内切. （4）若两个圆相交，则两个圆的圆心所在的直线垂直平分两个圆的 公共弦.( ) √ 2.当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离，是否外离 解：当两圆的方程组成的方程组无解,即两圆无公共点时，两圆一定 相离，但既可能外离也可能内含，因此不一定是外离. 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 例1 已知两圆 , .当两圆有如下位置关系时: 解：将两圆的方程化为标准方程，得 ， ，则圆的圆心为 ,半径 ,圆的圆心为,半径 ， 则两圆的圆心距 . 当两圆外切时,,即,解得 . 试确定上述条件下 的取值范围.（1）外切; 试确定上述条件下 的取值范围.（2）内切; 解： 当两圆内切时,,即,解得 . 试确定上述条件下 的取值范围.（3）相交; 解： 当两圆相交时, ,即 ,解得 . 例1 已知两圆 , .当两圆有如下位置关系时: 试确定上述条件下 的取值范围.（4）内含; 解： 当两圆内含时,,即,解得 . 试确定上述条件下 的取值范围.（5）外离. 解： 当两圆外离时,,即,解得 ， 又，所以的取值范围为 . 例1 已知两圆 , .当两圆有如下位置关系时: 变式（1）［2025`广东中山高二期末］ 圆 和圆 的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内含 [解析] 圆的圆心为 ，半径为3，圆 的圆心为 ，半径为2，两圆的圆心距为 ，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，所以 两圆外切.故选C. √ （2）若圆 与圆 相切，则 _____. 9或49 [解析] 由题知，圆的圆心为,半径,圆 的圆心为 ,半径，则两圆的圆心距 ， 因为圆与圆相切，所以或，解得 或 . ［素养小结］ （1）判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围 有以下几个步骤： ①将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆的圆心距
； ③通过
，
，
的关系来判断两圆的位置关系或求参数 的取值范围，必要时可借助图形，数形结合求解. （2）应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的取值范围比较简单 清晰，关键要理清圆心距与两圆 ... ...
