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课件网) 2.4 曲线与方程 探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念 探究点二 曲线与方程的应用 探究点三 求曲线的方程 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系; 2.学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念; 3.掌握根据已知条件求曲线方程的方法. 知识点一 曲线的方程与方程的曲线 1.定义：一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所 以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的_____. 一个二元方程总可以通过移项写成的形式，其中 是关于， 的解析式. 在平面直角坐标系中，如果曲线与方程 之间具有如下关 系： ①_____都是方程 的解； ②以方程的解为坐标的点都在曲线 上. 则称曲线为_____，方程 为_____ _____. 轨迹方程 曲线上的点的坐标 方程的曲线 曲线的方程 2.两条曲线的交点坐标 曲线和曲线 的交点坐标为 _ _____. 方程组的实数解 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若以方程的解为坐标的点都在曲线 上,则方程 即为曲线 的方程. ( ) × [解析] 若曲线上存在一点的坐标不是方程 的解，则方程 不是曲线 的方程. （2）若曲线上的点的坐标都满足方程 ,则坐标不满足方 程的点不在曲线 上.( ) √ （3）方程是以, 为端点的线段的方程.( ) × [解析] 方程是过, 两点的直线的方程. 知识点二 求曲线的方程 求动点 的轨迹方程的一般步骤： 【诊断分析】 如果原题没有确定坐标系,如何建立适当的坐标系 解：通常选取特殊位置的点为原点,如线段的端点或中点、直角顶点 等,相互垂直的直线为坐标轴. 探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念 例1 （多选题）如果说法“曲线上的点的坐标都是方程 的解”是正确的，那么下列说法中不正确的是( ) A.曲线是方程 的曲线 B.方程的每一组解对应的点都在曲线 上 C.不满足方程的点不在曲线 上 D.方程是曲线 的方程 √ √ √ [解析] 由于不能判断以方程 的解为坐标的点是否都在曲 线上,故方程的曲线不一定是曲线,所以“曲线 是方程 的曲线”不正确， “方程 的每一组解对应的点都在曲线上”也不正确， “方程是曲线 的方程”也不正确， “不满足方程的点不在曲线上”是正确的.故选 . 例2 已知点，曲线的方程为，曲线 的方程为 ，则“点在曲线上”是“点在曲线 上”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ [解析] 当点在曲线上时，有 ，整理得 ，所以由点在曲线上可以推出点 在曲线 上； 当点在曲线上时，有 ，整理得， 所以由点在曲线上推不出点 在曲线上. 所以“点在曲线上”是“点在曲线 上”的充分不 必要条件.故选A. 变式（1）方程 表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 [解析] 将 两边平方得 ，整理得 ， 由得 ，所以方程表示的曲线为一个圆， 故选A. √ （2）方程 表示的曲线是( ) A.一个点 B.两条直线 C.一个圆 D.两个点 [解析] 由方程可得 解得 所以方程 表示的曲线是一个点 .故选A. √ ［素养小结］ 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题（即判定方程是不是曲线的方 程或判定曲线是不是方程的曲线），只要一一检验定义中的两个条 件是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是 判断点的坐标是否适合曲线的方程. 探究点二 曲线与方程的应用 例3 （多选题）［2025·重庆涪陵区高二期中］ 数学中有许多形状 优美、寓意美好的曲线，例如，四叶草曲线就是其中一种，其方程 为 ，则下列说法正确的是( ) A.四叶草曲线有四条对称轴 B.设 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内， 过 作两坐标轴的垂线，则 ... ...
