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课件网) 2.5 椭圆及其方程 2.5.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的几何性质 探究点一 椭圆的几何性质 探究点二 由几何性质求标准方程 探究点三 椭圆的离心率 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中,, 的几何意义; 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 知识点 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质 标准方程 图形 _____ _____ 标准方程 性质 焦点 _____ _____ 焦距 范围 _____ _____ 对称性 关于_____对称 , , , , 轴、轴和原点 续表 标准方程 性质 长轴 短轴 顶点 ， ， 续表 标准方程 性质 离心率 续表 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）设为椭圆的一个焦点， 为椭圆上任 一点，则的最大值为为椭圆的半焦距 .( ) √ （2）椭圆的离心率 越大,椭圆就越圆.( ) × [解析] 椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆就越扁; 离心率越小,椭圆就越圆. （3）若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的 方程为 .( ) × [解析] 因为,,所以,. 当焦点在 轴上时,椭圆的方程为; 当焦点在轴上时,椭圆的方程为 . 探究点一 椭圆的几何性质 例1（1）椭圆与 的( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 [解析] 椭圆的焦点在 轴上，长轴长为10，短轴长为6， 焦距为8，离心率为. 椭圆的焦点在 轴上，长轴长为， 短轴长为，焦距为8，离心率为 ，所以两椭圆的焦距相 等.故选D. √ （2）（多选题）［2024·辽宁葫芦岛高二期中］ 若椭圆 的离心率为，则实数 的值可能是( ) A.10 B.8 C.5 D.4 [解析] 由题知，即. 当焦点在 轴上时，由，解得； 当焦点在 轴上时，由，解得.故选 . √ √ 变式 已知椭圆 ，求该椭圆的长轴长、短轴长、焦点 坐标、顶点坐标和离心率. 解：椭圆的标准方程为 ， 则焦点在轴上，且,, ， 所以长轴长为1，短轴长为，焦点坐标为 ， 顶点坐标为,，离心率 . ［素养小结］ 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程 判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用
，
，
之间的关系和椭 圆的定义求椭圆的基本量. 探究点二 由几何性质求标准方程 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）长轴在轴上，长轴长等于12，离心率等于 ； 解：由题得，，,则, ，所以 , 又长轴在 轴上,所以所求椭圆的标准方程为 . （2）椭圆过点，离心率 ; 解：若焦点在轴上，则,由,得 ,所以 ,此时椭圆的标准方程为. 若焦点在 轴上，则,由,得 ,此时椭圆的标准方程为 . 综上，所求椭圆的标准方程为或 . （3）在 轴上的一个焦点与短轴上的两个端点的连线互相垂直，且 焦距为8. 解：由题意，,即 ，因为焦点与短轴上的两个端点的连线 互相垂直，所以,则, 又焦点在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 . 变式（1）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，焦距等于，则椭圆 的标准方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由长轴长是短轴长的2倍，得，即 ，焦距 ，则， 又，所以， ，所以椭圆的标准方程为 .故选A. √ （2）已知,分别是椭圆且 的左、右焦 点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是4，则椭圆 的方程 为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由椭圆的定义得 ，所以 . 又 ，所以当时，取得最大值， 则 ，即，解得， 所以椭圆的方程为 .故选D. ［素养小结］ 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根 据已知条件确定椭圆的标准方程的形式并列出关于参数的方程 （组），解方程（组）求得参数. 提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标 准方程求解.可确定类型的量有焦点、 ... ...
