(
课件网) 2.5 椭圆及其方程 2.5.2 椭圆的几何性质 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用 探究点一 椭圆中的焦点三角形 探究点二 椭圆中的范围、最值问题 探究点三 实际生活中的椭圆问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.根据椭圆的定义研究焦点三角形的性质以及焦半径的取值范围; 2.了解椭圆在实际生活中的应用. 探究点一 椭圆中的焦点三角形 例1（1）［2025·江苏扬州高二期中］椭圆具有如下光学性质：从椭圆 的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个 焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点， 是椭圆在点 处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则 ( ) A. B. C.4 D.8 √ [解析] 由椭圆，得， 则椭圆 的长轴长. 如图，延长,交于点 ， 由题意可知， 又因为 ，所以为的中点，且 ， 所以， 又因为为 的中点，所以为的中位线， 则 .故选C. （2）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为,, 是上一点，若是直角三角形，则 的面积可以是 ( ) A. B. C. D.1 √ √ [解析] 在椭圆中，,，半焦距 ， ,，由 是直角三角形，得 或. 若 ，由得，则点到轴 的距离为， 的面积，B正确； 当是 的上顶点或下顶点时，，的面积 ，D正确. 故选 . 变式（1）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 为椭 圆上一点，且为坐标原点，则 ( ) A.8 B.12 C.16 D.64 [解析] 由题意得，,, ，则 ，所以为 的外心，即以线段 为直径的圆经过点，则 . 记, ，则 于是 .故选A. √ （2）已知，分别为椭圆的左、右焦点, 为坐标原 点,点在椭圆上且，则 的面积为( ) A. B.8 C.7 D.16 [解析] 由椭圆可得,, ,所以 , 又,所以，所以三角形 是以点为直角顶 点的直角三角形,所以 ，所以, 又 ，所以,则三角形 的面积 ，故选C. √ ［素养小结］ （1）焦点三角形：以椭圆上的点
与两焦点
，
为顶点构 成的
叫作焦点三角形. 若
，
，
，
的面积为
，则在 椭圆
中： ①当
，即点
为短轴端点时，
最大； ②
，当
，即点
为短轴端点时，
取得最大值，最大值为
. （2）解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理， 其中
两边平方是常用技巧. 拓展 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,，是椭圆上的点，若满足 的点 恰 好有2个，则 的内切圆的半径为( ) A. B. C. D. √ [解析] 满足 的点在以线段 为弦，所对圆周角为 的两段圆弧上（不含弧的端点），圆弧在直线两侧， 因为 是椭圆上的点，且满足 的点 恰好有2个，所以 上述每段圆弧与椭圆仅有一个公共点， 又椭圆上到原点 距离最小的点是短轴端点，所以圆弧与椭圆的公 共点是短轴端点. 以短轴的一个端点为点，因为，所以 是边长为2的 等边三角形，此时点的坐标为， 设的内切圆的半径为 ,则 ,解得 .故选A. 探究点二 椭圆中的范围、最值问题 例2（1）［2025·云南昆明八中高二期中］设是椭圆 的上顶点，点在上，则 的最大值为( ) A. B. C. D.4 √ [解析] 设，则，即， . 易知 ，所以 ，. 当时， 取得最大值 ，所以的最大值为 , 故选A. （2）已知,分别是椭圆 的左、右焦点, 椭圆过,两点,点在线段上,则 的取值范围 为( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为椭圆过， 两点， 所以,，可得，所以 ， . 设，由题知直线的方程为 ，即， 因为点在线段上，所以, . 因为， ，所以 ，，所以 的取值范 围为 .故选D. 变式（1）椭圆 的内接矩形的最大面积为( ) A. B. C.4 D.2 [解析] 设内接矩形在第一象限的顶点的坐标为，则, . 由对称性可知，内接矩形的面积 ，当且仅当 ，即时，等号成立. 由解得 所 ... ...
