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课件网) 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 探究点一 双曲线定义的应用 探究点二 求双曲线的标准方程 探究点三 与双曲线有关的轨迹方程 探究点四 双曲线的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程; 2.掌握双曲线的标准方程及其求法; 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 知识点一 双曲线的定义 一般地，如果，是平面内的两个定点， 是一个_____，且 ,则平面上满足____的动点 的轨迹称为 双曲线，其中，两个定点， 称为双曲线的_____，两个焦点的 距离 称为双曲线的_____. 正常数 焦点 焦距 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） 设，是平面内的两个定点，是一个常数， 为平面内一个动点. （1）若，则满足的动点 的轨迹称为 双曲线.( ) × （2）若,则满足的动点的轨迹是线段 的垂直平分线.( ) √ （3）若，则满足的动点 的轨迹是 以， 为端点的两条射线.( ) √ （4）若，则满足的动点 没有轨迹. ( ) √ 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 图形 _____ _____ 标准方程 焦点 _____ _____ , , , , 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）已知两定点,，则满足 的动 点 的轨迹是双曲线.( ) × [解析] 因为，所以 ，所以动点 的轨迹是两条射线（包含端点）. （2）在双曲线的标准方程中,,,的关系是 .( ) × [解析] 在双曲线的标准方程中，,,满足 ; 在椭圆的标准方程中，,,满足 . （3）双曲线的焦点在 轴上.( ) × [解析] 根据双曲线的标准方程的特点可知,双曲线 的焦点 在 轴上. （4）方程表示双曲线的充要条件： ，且 .若，则焦点在轴上；若，则焦点在 轴上. ( ) √ 探究点一 双曲线定义的应用 例1（1）若双曲线 上的点到一个焦点的距离为12，则该 点到另一个焦点的距离为( ) A.22或2 B.7 C.22 D.2 √ [解析] 设双曲线的左、右焦点分别为,,则, , . 设为双曲线上一点，不妨令 ，由题知 ， 点 可能在双曲线的左支上，也可能在 双曲线的右支上， 由，得,所以 或2. 故点 到另一个焦点的距离是22或2.故选A. （2）［2024·广西桂林高二期中］已知双曲线 的左、右 焦点分别为,，点在双曲线的右支上，点 ，则 的最小值为_____. [解析] 由题可知， ，由双曲线的定义可得 ，当且仅当，，三点共线且 在， 之间时等号成立. 变式（1）已知椭圆和双曲线 的公共焦 点为,，椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 设椭圆与双曲线的左焦点为，右焦点为 . 由椭圆和双曲线的定义，有解得 由 ，得,则 故选B. √ （2）若动点的坐标 满足 ，则点 的轨迹方程是( ) A. B. C. D. [解析] 设,，由已知得,即动点 到两 个定点，的距离之差的绝对值等于常数8， 因为 ，且，所以动点的轨迹是以, 为焦点，实轴 长为8的双曲线. 设双曲线的方程为，则, ， 所以,，所以，所以点 的轨迹方程是 .故选D. √ ［素养小结］ 双曲线上的一点
与其两个焦点
，
构成的三角形
称为焦点 三角形.令
，
，
，因为
， 所以有 （1）定义：
. （2）余弦公式：
. （3）面积公式：
. 一般地，在
中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决. 拓展 已知, 分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上一点 满足，，则____，双曲线 的标 准方程为_ _____. [解析] 因为， ，所以 ，即 ，则 ，所以. 因为点在 的右支上，所以,由余弦定理知 ，可得， 因为，所以，所以双曲线 的标准方程为 . 探究点二 求双曲线的标准方程 ［探索］ ... ...
