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课件网) 2.6 双曲线及其方程 2.6.2 双曲线的几何性质 探究点一 双曲线的几何性质 探究点二 由双曲线的性质求标准方程 探究点三 求双曲线的离心率 探究点四 求双曲线的渐近线方程 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握双曲线的几何性质; 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程; 3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题. 知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 图形 _____ _____ 标准方程 性质 焦点 _____ _____ 焦距 ____ 范围 _____ _____ 对称性 对称轴：_____；对称中心：_____ 顶点 _____ _____ _____ , , 或 或 坐标轴 原点 ， , 续表 标准方程 性质 离心率 实轴 虚轴 渐近线 方程 _ _____ _ _____ 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）双曲线的焦点在 轴上.( ) × [解析] 由双曲线的标准方程知,焦点在 轴上. （2）双曲线与 的 渐近线相同.( ) × [解析] 双曲线的渐近线方程为 ,双 曲线的渐近线方程为 ,不相同. （3）双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( ) √ [解析] 双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越开阔. （4）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( ) × [解析] 双曲线只有与实轴的两个交点,称为顶点. （5）设过双曲线焦点与双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于, 两 点，则 .( ) √ [解析] 将（或）代入双曲线方程 （或）即可得（或 ），则 . 2.（1）双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗 解：不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应 无数条双曲线,且焦点可能在轴上,也可能在 轴上. （2）椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同？ 解：不同.双曲线的离心率的取值范围是 ；椭圆的离心率的取 值范围是 . 3.能否用， 表示双曲线的离心率？ 解：能. . 4.离心率对双曲线的开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ 解：有影响.因为，故 的值越大，渐近线 的斜率越大，双曲线的开口越大，也越大，所以 反映了双 曲线开口的大小，且双曲线的离心率越大，它的开口就越大. 知识点二 等轴双曲线 实轴长和虚轴长_____的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线方程 是_____，离心率 ____. 相等 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）等轴双曲线的离心率是 .( ) √ [解析] ,, . （2）等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.( ) × [解析] 在等轴双曲线中有, 等轴双曲线的渐近线方程为 ,与双曲线方程无关. （3）等轴双曲线的渐近线互相垂直.( ) [解析] 等轴双曲线的渐近线方程为 ,易知它们互相垂直. √ 探究点一 双曲线的几何性质 例1（1）求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、 虚轴长、离心率和渐近线方程. 解：由题得双曲线的标准方程是,则, ,所以 ,,. 又双曲线的焦点在 轴上,所以顶点坐标为,,焦点坐标为 ,,实轴长为 ,虚轴长为, 离心率,渐近线方程为 （2）（多选题）已知， 分别是双曲线 的左、右焦点，过作倾斜角为 的直 线分别交轴、双曲线的右支于点，，且 ，则下列 判断正确的是( ) A. B.的离心率为 C.双曲线的渐近线方程为 D.的内切圆的半径为 √ √ √ [解析] 如图所示，因为,分别是线段， 的中点，所以，所以 轴. 对于A，因为直线的倾斜角为，所以 ，故A正确； 对于B，易知，则 ，，所以 ，则，故B不正确； 对于C，由， ，得，则， 所以双曲线 的渐近线方程为 ，故C正确； 对于D， 的周长为，设其内切 圆的半径为 ，则， 则 ，故D正确.故选 . 变式（1）［2024·辽宁盘锦二中高二期末］已知双曲线 的离心率为2，则双曲线 的两条渐近线 的夹角 ... ...
