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课件网) 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 第2课时 直线与圆锥曲线的位置 关系（二） 探究点一 圆锥曲线中的最值与范围问题 探究点二 定值问题 探究点三 定点问题 探究点四 直线与圆锥曲线的综合应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握圆锥曲线的两种形式的弦长公式，会利用弦长解决一些简 单问题； 2.会解决直线与圆锥曲线的最值、范围、定点、定值问题. 探究点一 圆锥曲线中的最值与范围问题 例1 已知,分别为椭圆 的左、右焦点， ，点在椭圆上，是椭圆上的动点，求 的最大值. 解：由，得，则. 因为点 在椭圆上，所以， 又，所以, ， 故椭圆的方程为. 设，则, ， 则 ，当时，取得最大值 . 变式 已知抛物线的焦点为 ，位于第一象限的点 在抛物线上，且.直线过焦点且与抛物线 交于 ， 两点. （1）若的倾斜角为 ，求 的值； 解：由题意可得，所以 ， 所以抛物线的方程为，焦点为 ， 所以直线的方程为 . 由消去得 ， 设,，则 ， 所以 . 变式 已知抛物线的焦点为 ，位于第一象限的点 在抛物线上，且.直线过焦点且与抛物线 交于 ， 两点. （2）若过且与垂直的直线交于，两点，求四边形 的面 积的最小值. 解：设直线的方程为 ， 由消去得 ， 设,，则, ， 所以 . 同理可得 ， 所以四边形 的面积 ， 当且仅当 时，等号成立. 所以四边形 的面积的最小值为32. ［素养小结］ （1）解决圆锥曲线中的最值问题常见的方法： ①函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量 的取值范围.求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或函 数单调性. ②方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件 得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值. （2）解决圆锥曲线中的取值范围问题的方法: ①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的 取值范围. ②利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心 是建立两个参数之间的等量关系. ③利用隐含的不等关系建立不等式（组）,从而求出参数的取值范围. ④利用已知的不等关系构造不等式（组）,从而求出参数的取值范围. ⑤利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值 域,从而确定参数的取值范围. 探究点二 定值问题 例2 已知抛物线及该抛物线上一点 . （1）过点作抛物线的切线，求切线 的方程； 解：由题知，切线 的斜率存在， 设过点的切线方程为 . 方法一：由消去得 ， 令，整理得 ，解得 ，所以切线的方程为 . 方法二：由消去 得 ， 令 ，得 ， 即 ， 即，即，解得 ， 所以切线的方程为 . 例2 已知抛物线及该抛物线上一点 . （2）过点分别作两条倾斜角互补的直线，与抛物线 的另一个交 点分别为，，求证：直线 的斜率为定值. 证明：方法一：设， . 易知直线的斜率 . 由题可知直线与的斜率均存在，设直线的斜率为 ，则直 线的斜率为 ， 直线的方程为 . 由消去得 ， 由根与系数的关系得，则 . 同理可得，所以 ， 所以直线的斜率 ， 所以直线的斜率为定值 . 方法二：设， . 设直线的方程为，则 ， 代入抛物线的方程得 ，即 ， 由根与系数的关系得 ，则 ，所以 ，即 . 设直线的方程为 ，即， 同理可得 ， 故，即 ， 则直线的斜率 ， 所以直线的斜率为定值 . 变式 ［2025·云南昆明高二期中］已知抛物线 的 焦点为 . （1）求抛物线 的方程. 解：抛物线的焦点为.依题意得 ，解得 ，所以抛物线的方程为 . 变式 ［2025·云南昆明高二期中］已知抛物线 的 焦点为 . （2）若过点的直线与抛物线交于， 两点，则 是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请 说明理由. 解：由题意知，直线的斜率不为0. ... ...
