2.1.2 基本不等式 课件（17页） 2025-2026学年湘教版2019高中数学必修第一册

2.1.2 基本不等式 学习目标 1.掌握基本不等式????+????2≥????????. 2.会求算术平均数与几何平均数. 3.能应用基本不等式解决一些证明、求解最值问题. ? 导入新课 A B C D E F G H ???? ? b ????2+????2 ? 我们通过“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当????≠????时，????2+????2>2????????, ? 当????,????,????,????四点重合，即????=????时，有????2+????2=2????????. ? 即?????,????∈????,有????2+????2≥2????????. ? 证明: ( ????2+????2)?2????????=(?????????)2≥0. ? 新课学习 据此，可得到如下定理： 对任意????,????∈????,????2+????2≥2????????，当且仅当????=????时等号成立. ? 特别地，当????>0,????>0时，用????,????分别代替定理中的????,????，可得如下推论： ? 对任意正数????,????，????+????2≥????????，当且仅当????=????时等号成立. ? ( ????2+????2)?2????????=(?????????)2≥0. ? 新课学习 一般地，对于正数????,????，我们把????+????2称为????,????的算术平均数，????????称为????,????的几何平均数.把不等式????+????2≥????????(????>0,????>0)称为基本不等式. ? 证法一 :因为????+????2?????????=12(????+?????2????????)=12(?????????)2≥0 所以????+????2≥????????，当且仅当????=????，即????=????时等号成立. ? 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 新课学习 证法二 以长是????+????的线段为直径作圆????，在直径????????上取点????，使得????????=????，????????=????，过点????作????????⊥????????交上半圆于点????，连接????????和????????，可证??????????????????????∽???????????????????????????????,那么????????????????=????????????????,即????????=????????. ? 因为????????是圆的半径，故????????=????+????2.显然，它大于或等于????????， 即????+????2≥????????，当且仅当点????和点????重合，即????=????时，等号成立. ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 新课学习 定理和推论的区别与联系 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 定理 推论 形式 ????2+????2≥2???????? ????+????2≥???????? 适用范围 ????,????∈???? ????>0,????>0 文字叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍. 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. “=”成立条件 ????=???? ????=???? {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 定理 推论 形式 适用范围 文字叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍. 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. “=”成立条件 基本不等式常用的变形 （1）基本不等式的一边是“和式”，另一边是“积式”； （2）基本不等式的前提是正数； （3）基本不等式取等号的条件. 新课学习 ????+????2≥???????? ? ????+????≥2???????? ? ????????≤(????+????2)2 ? 例题解析 例1 设????,????为正数，证明下列不等式： (1)????+1????≥2； (2)????????+????????≥2. ? 证明:(1)因为????,1????均为正数， 由基本不等式，得 ????+1????≥2?????1????=2. 当且仅当????=1????，即????=1时等号成立，所以原不等式成立. ? 证明:(2)因为????,????为正数，所以????????，????????也为正数，由基本不等式，得 ????????+????????≥2?????????????????=2. 当且仅当????????=????????，即????=????时等号成立，所以原不等式成立. ? 例题解析 例2 对任意三个正实数????，????，????,求证： ????+????+????≥????????+????????+????????, 当且仅当????=????=????时等号成立. ? 证明: 因为????，????，????>0，由基本不等式，得 ????+????≥2????????,????+????≥2????????,????+????≥2????????, 把上述三个式子的两边分别相加，得 2(????+????+????)≥2(?? ... ...