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课件网) 1.2 直线的方程 1.2.3 直线的一般式方程 探究点一 求直线的一般式方程 探究点二 含参数的直线的一般式方程有 关问题的探究 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程. 2.能讨论特殊形式与一般式的关系,并能熟练地进行互化. 知识点一 直线与二元一次方程的关系 （1）平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于, 的 二元一次方程_____来表示; （2）任何一个关于,的二元一次方程 , 不全为0 都表示平面直角坐标系中的_____. ,不全为0 一条直线 知识点二 直线的一般式方程 方程_____叫作直线的一般式方程，简称 一般式. ,不全为0 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任何直线方程都能表示为一般式．( ) √ （2）任意一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) × （3）对于二元一次方程，当， 时，方 程表示垂直于 轴的直线．( ) × （4）斜率为2，且经过点 的直线的一般式方程为 .( ) √ 探究点一 求直线的一般式方程 例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. （1）直线经过， 两点； 解：由题可得 ， 所以该直线的方程为，即 . （2）经过点，且垂直于 轴； 解：经过点，且垂直于 轴的直线的斜率不存在， 其方程为，即 . （3）过点 且在两坐标轴上的截距相等. 解：当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设所求直线方程为 ， , 将点的坐标代入上式，得，解得 ， 所以直线方程为 . 当直线在两坐标轴上的截距为0，即直线过原点时，易得直线的方程 为，即 . 综上，直线的方程为或 . 例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. 变式 写出下列直线的方程,并化成一般式. （1）经过点,斜率是直线的斜率的 ; 解：设所求直线的斜率为,则依题意得 , 因为直线经过点,所以所求直线的方程为 ,即 . （2）经过点,且在轴上的截距等于在 轴上截距的2倍; 解：当直线不过原点时,设所求直线的方程为 ,将点 的坐标代入,可得,解得 ,所以直线的方程为 ; 当直线过原点时,设所求直线的方程为 , 则,解得,所以直线的方程为,即 . 综上,所求直线的方程为或 . 变式 写出下列直线的方程,并化成一般式. （3）经过, 两点. 解：当时,直线的方程为,即 ; 当时,直线的方程为 , 即 . 因为当时,方程即为 ,所以所求 直线的方程为 . 变式 写出下列直线的方程,并化成一般式. ［素养小结］ 求直线的一般式方程的策略. （1）当
时，方程可化为
，只需确定
，
的值； 当
时，方程可化为
，只需确定
，
的值.因此， 只要给出两个条件，就可以求出直线方程. （2）在求直线方程时，通常根据给定条件选用四种特殊形式之一求 方程，然后转化为一般式. 探究点二 含参数的直线的一般式方程有关问题的探究 例2（1）［2025·江苏苏州中学高二质检］已知直线 ，不全为0在轴上的截距大于在 轴上的截距， 则，， 应满足的条件是( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得,,.令，得直线在 轴上的截距 为，令，得直线在轴上的截距为 . 由直线在轴上的截距大于在轴上的截距， 可得 ，即 .故选D. √ （2）已知直线 . ①求证:不论为何值,直线 总经过第一象限; 解：证明:直线的方程可化为 , 令解得即直线过定点 , 因为点在第一象限内,所以不论为何值,直线 总经过第一象限. ②要使直线不经过第二象限,求 的取值范围. 解：方法一:设为坐标原点,连接,则直线的斜率为 , 故要使直线不经过第二象限,只需直线的斜率,解得 , 即的取值范围为 . （2）已知直线 . 方法二:当时,直线的方程为,直线 经过第二象限,不符合题 意,故 . 由题意 ... ...
