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课件网) 1.4 两条直线的交点 探究点一 判断直线的交点及由交点求参数 探究点二 过两直线交点的直线系方程 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义,能用解方程组 的方法求两条直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一 两条直线的交点 已知同一平面内的两条直线 , ,则 一组 无数组 无解 一个 无数个 零个 相交 重合 平行 知识点二 直线系方程 已知直线与相交于点 ， 则过点的直线（除 外）可表示为 . 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若点在直线上,则点 的坐标一定满 足直线 的方程.( ) √ （2）若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次 方程组的解.( ) √ （3）若两条直线的斜率都存在且不相等，则两条直线相交．( ) √ 2.直线与直线 的位置关系如何 若相 交，能根据图形确定直线与直线 的交 点坐标吗 有什么办法求得这两条直线的交点坐标 解：两直线相交，根据图形可确定两直线的交点坐标为 ，可 用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 探究点一 判断直线的交点及由交点求参数 例1（1）（多选题）［2025·石嘴山三中高二月考］ 下列说法中正 确的有( ) A.直线和 相交 B.直线和的交点坐标为 C.直线和 没有交点 D.直线，, 两两相交 √ √ √ [解析] 对于A，直线， ，两直线重合， 故A错误； 对于B，由解得所以与 的交点坐标为， 故B正确； 对于C，直线 ，，两直线的斜率相等且 两直线不重合，故与 平行，所以与没有交点，故C正确； 对于D，直线 ，,，可知直线,, 的斜率分别为,1,,斜率都不相等,故三条直线两两相交,故D正确. 故选 . （2）若三条直线，， 相交 于一点，则实数 的值为( ) A. B. C.2 D. [解析] 设三条直线相交于点，则直线 ， 交于点，由解得 即 ， 直线过点，可得， .故选B. √ 变式（1）若直线与 的交点在第一象 限，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知.由解得 两条直线的交点在第一象限，可得 .故选B. √ （2）直线与直线 的交点坐标为 _____. [解析] 由解得所以直线与 的交点坐标为 ． ［素养小结］ （1）求两相交直线交点坐标的一般方法是解两直线方程组成的二元 一次方程组； （2）已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值 范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或 不等式，从而求出参数的值或取值范围. 探究点二 过两直线交点的直线系方程 例2 求过两直线和 的交点且与直线 平行的直线方程． 解：方法一：由 得所以两直线的交点坐标为 . 又所求直线与直线 平行，所以所求直线的斜率为 . 故所求直线的方程为，即 . 方法二：设所求直线的方程为 ， 即 . 因为所求直线与直线 平行， 所以 解得 . 代入（*）式，得 ， 即 . 变式（1）过直线与直线 的交点,且与直线 平行的直线方程为_____. [解析] 由解得 直线 与直线 的交点坐标为. 设所求直线的方程为 ,将点的坐标代入方程,得, , 所求直线的方程为,即 . （2）求过直线和直线的交点 ， 且与直线垂直的直线 的方程. 解：由解得 直线与直线垂直，且直线的斜率为 , 直线的斜率为, 直线的方程为 , 即 . ［素养小结］ 求过两条直线交点的直线方程的两种方法： 方法一，先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； 方法二，利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解. 1.判断两直线位置关系的关键是看两直线的方程组成的方程组的解的 情况． 已知直线,直线 ，方程组 有唯一解的等价条件是 ，即两 条直线相交的等价条件是 . 2.虽然利用方程组解 ... ...
