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课件网) 1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 探究点一 求两点间的距离 探究点二 由两点间的距离求参数 探究点三 坐标法的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能推导两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义. 2.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离. 3.会用坐标法证明简单的平面几何问题． 知识点 两点间的距离公式 平面上,两点间的距离公式为 _____. （1）当直线平行于轴时, _____; （2）当直线平行于轴时, _____; （3）特别地,原点与任一点间的距离 . 【诊断分析】 （1）已知点，，且，则 的值为1.( ) × （2）若，,则线段的中点坐标为 .( ) √ （3）点与点之间的距离为 .( ) × （4）当， 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公 式不适用.( ) × 探究点一 求两点间的距离 例1 已知的三个顶点，， ，试判断 的形状． 解：方法一： ， ， ， ，且 ， 是等腰直角三角形． 方法二：， ， ， . 又 ， ，， 是等腰直角三角形． 变式 若点在轴上，点在轴上，线段的中点为，则 等 于( ) A.10 B.5 C.8 D.6 [解析] 由题意得， ，所以 .故选A. √ ［素养小结］ 计算两点间距离的方法： （1）对于任意两点
和
，有
； （2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式 的特殊情况求解． 探究点二 由两点间的距离求参数 例2 已知点，，当 取得最小值时，实 数 的值为__． [解析] 因为点， ，所以 ,故 当时， 取得最小值. 变式 已知点，，，且，则 的值是 ( ) A. B.2 C. D. [解析] 因为点，，，且 ，所以 ，解得 . √ ［素养小结］ 已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出 所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程 或方程组求解． 探究点三 坐标法的应用 例3 用坐标法证明:若四边形是长方形,则对直线 上任意一点 ,等式 恒成立. 证明:以为坐标原点,边所在直线为轴, 边所在直 线为 轴,建立平面直角坐标系，如图所示, 设,,则,,, ,直线 的方程为 . 设,则 , ,所以 . 变式 如图,,,三点共线，和是在直线 同侧的两个 等边三角形.试用坐标法.证明: . 证明:如图所示,以点为坐标原点,所在直线为 轴 建立平面直角坐标系. 设和的边长分别为和 , 则,,, , 所以 ,,所以 . ［素养小结］ 利用坐标法解决平面几何问题的一般步骤： （1）建立坐标系,用坐标表示有关的量; （2）进行有关代数运算; （3）把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 已知斜率为的直线上的两点， ，由两点间的距 离公式可得 ，或 . 两点间距离公式的变形运用 解： ， 的 几何意义为轴上一点到点 ，距离的和，如图所示， 设 为点关于轴的对称点，连接，则当点 为直线 与轴的交点时，点到， 两点距离的和最小，最小值为， 两 点间的距离. 因为 ， 所以函数的最小值为 . 例1 求函数 的最小值. 例2 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三 角形的三个内角均小于 时，费马点 与三个顶点连线正好 三等分费马点所在的周角，即，， 两两之间的夹角均为 .根据以上性质，求 的最小值. 解：由题意知，的几何意义为点 到点 ,, 的距离之和. 由题可知,当取得最小值时 ,且 在 轴上. 此时（其中 为坐标原点）， , . 故的最小值为 . 练习册 1.［2025·湖南邵阳七中高二期中］已知，，则， 两 点间的距离为( ) A.5 B. C.3 D. [解析] 因为，，所以, 两点间的距离为 .故选B. √ 2.［2025·江苏扬州大学附中高二期中］已知 的顶点为 ，，，则 边上的中线长为( ) A.4 B.5 C. D. [解析] 设的中点为，因为，，所以 . 又，所以边上的中线长 .故选B. ... ...
