第2课时 直线与抛物线的综合应用 【课前预习】 知识点一 (1)相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 (2)一个 平行或重合 知识点二 (1)·=· (2)x1+x2+p -p2 (3)2p (4) 诊断分析 1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.解:不是.当直线与抛物线只有一个交点时,直线与抛物线相切或相交(直线与抛物线的对称轴平行或重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点.因此“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要且不充分条件. 【课中探究】 探究点一 例1 AC [解析] 由直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,可得=1,所以p=2,所以A正确;抛物线方程为y2=4x,将直线y=-(x-1)的方程代入抛物线方程可得3x2-10x+3=0,可得xM+xN=,所以MN=xM+xN+p=,所以B不正确;MN的中点的横坐标为,则MN的中点到抛物线的准线的距离为1+=,所以以MN为直径的圆与l相切,所以C正确;不妨设N在第一象限,则由对B的分析可得xM=3,xN=,yM=-2,yN=,所以OM==,ON==,又MN=,所以△OMN不是等腰三角形,所以D不正确.故选AC. 变式 [解析] 如图所示,不妨设点P在第一象限,由解得 则点P(1,),易知PH⊥y轴,则PH∥x轴,则∠xFP=∠HPF=60°,所以直线PF的倾斜角为60°,易知点F,所以kPF==,整理可得2=(2-p),且2-p>0,故0
0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=m,y1y2=-n, 由题知y1y2<0,∴n>0. 由·=6可得x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=n2-n=6, 解得n=3或n=-2(舍去), 则直线x=my+3过x轴正半轴上一点(3,0),即点M的坐标为(3,0). (2)由题意知F,结合(1)知y1y2=-3, 不妨设y1>0,∴y2=-<0, 则S△OAB=OM·|y1-y2|=(y1-y2)=, 由于C,F关于直线OB对称,故S△OBC=S△OBF=OF·|y2|=, 故S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=y1+=≥×2=,当且仅当4y1=,即y1=时,等号成立, 故四边形OABC面积的最小值为. 变式 C [解析] 由题意可知,直线l不可能与x轴平行,设直线l的方程为x=my+n(n≠0),由消去x得y2-4my-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2×(-4n)+mn×4m+n2=n2,因为·=0,所以x1x2+y1y2=n2-4n=0,解得n=4或n=0(舍),则AB== = = 4=4≥8,当且仅当m2=0,即m=0时,AB取得最小值8,所以AB的最小值为8,故选C. 探究点二 例3 D [解析] 抛物线C的焦点为F(2,0),p=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,2),∴=2,=8x1,=8x2,∴-=8x1-8x2,即(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),则y1-y2=2(x1-x2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则k==2,故l:y=2(x-2),∴x0=3,∴AB=x1+x2+p=2x0+p=6+4=10.故选D. 变式 C [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=4x1,=4x2,所以-=4x1-4x2,由于线段AB的中点坐标为(3,2),所以由抛物线对称性可知直线l的斜率存在,即x1≠x2,且y1+y2=2×2=4,则=4,即==1,所以直线l的斜率为1.故选C. 探究点三 例4 解:由题可知抛物线的焦点为F(1,0),显然直线l的斜率不为0, 设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 由消去x整理得y2-4my-4=0, 所以Δ=16m2+16>0,则y1+y2=4m,y1y2=-4, 所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1. 因为B(-1,2),所以=(x1+1,y1-2),=(x2+1,y2-2). 因为∠MBN=90°,所以·=(x1+1)(x2+1)+(y1-2)(y2-2)=0, 即x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0, 即1+4m2+2+1-4-8m+4=0,解得m=1, 所以直线l的方程为x=y+1, 即x-y-1=0. 变式 解:(1)因为点A(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上, 所以42=4p,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x,焦点F的坐标为(2,0). (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得x2+(2m-8)x+m2=0,所以Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m<2, 所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2. 如图,因为OP ... ... 