第3章 微突破（五） 直线与圆锥曲线的综合（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册

微突破(五)　直线与圆锥曲线的综合 例1　解:(1)由y2=-4x,可得F1(-,0),∴椭圆C的半焦距c=, 又椭圆C的离心率为, ∴a=2,b2=2,∴椭圆C的方程为+=1. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1≠-,x2≠-, 由可得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0, ∴Δ=(4mk)2-4(2k2+1)(2m2-4)>0,可得m2<2+4k2, x1+x2=-,x1x2=, ∵直线F1A与F1B关于x轴对称, ∴+=0, 即+=0, ∴y1(x2+)+y2(x1+)=(kx1+m)(x2+)+(kx2+m)(x1+)=0, 即2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m=0,∴2k×+(k+m)+2m=0, 可得m=2k,代入m2<2+4k2,得-0)的焦点为F(1,0), 所以=1,所以p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:①当直线AB的斜率不存在时, 设A,B. 因为直线OA,OB的斜率之积为-, 所以·=-,化简得t2=32. 所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8. ②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(xA,yA),B(xB,yB), 由消去x,化简得ky2-4y+4b=0,所以Δ=16-16kb>0,即kb<1, 则yAyB=,因为直线OA,OB的斜率之积为-,所以·=-, 整理得xAxB+2yAyB=0, 即·+2yAyB=0, 解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32, 所以yAyB==-32,即b=-8k, 所以直线AB的方程为y=kx-8k,即y=k(x-8).综上所述,直线AB过x轴上的定点(8,0). 例2　证明:(1)不妨设弦AB,MN过椭圆的左焦点,由题知a=3,b=2,c==1. 当弦AB,MN中有一条为长轴,另一条为过左焦点且平行于短轴的弦时, 由可得故过左焦点且平行于短轴的弦长为, 则+=+=. 当弦AB,MN中没有一条为长轴时,直线AB,MN的斜率均存在且不为0,设kAB=k,则kMN=-,联立直线AB与椭圆方程得可得(9k2+8)x2+18k2x+9k2-72=0, 则Δ=324k4-4(9k2+8)(9k2-72)=482(k2+1)>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=, 根据弦长公式得AB= =·=. 用-替换上式中的k即得MN==, 因此+=+=. 综上,+=,为定值. (2)分以下两种情况讨论: 当直线OP的斜率存在且不为0时,设直线OP的斜率为m(m≠0), 由可得x2=,y2=,则OP2=x2+y2=. 用-替换上式中的m即得OQ2==, 因此+=+=. 当直线OP,OQ中有一条斜率不存在,另一条斜率为0时, +=+=. 综上所述,+=,为定值. 变式　解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),F(x4,y4), 因为2(+)=3(+),所以x1+x2=(x3+x4). 易知双曲线的渐近线方程为y=bx或y=-bx,由得x=, 由得x=-, 所以x1+x2=. 由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,所以x3+x4=-, 所以=-,即3k2-3b2=1+2k2,由k2=10,得b=,所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)证明:由(1)得A,B, 所以OA==,OB==, 又易知两条渐近线的夹角为,所以S△OAB=OA·OB·sin∠AOB=××=. 由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0, 因为直线l与双曲线C相切,所以k2≠3,且Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=0,即m2-k2+3=0, 所以S△OAB==,为定值. 例3　解:(1)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=. 又焦点(c,0)到直线y=x的距离d==,所以c=, 又c2=a2+b2,所以a2=3,b2=39, 所以双曲线C的方程为-=1. (2)证明:由消去y,并整理得(13-k2)x2-18k2x-3(27k2+13)=0(13-k2≠0). 设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠-9,x2≠-9,则x1+x2=,x1x2=-. 设A(-9,t)(t≠0),则B(-9,-t),得直线AM的方程为y-t=(x+9), 直线BN的方程为y+t=(x+9), 两个方程相减得2t=(x+9)①, 因为-=-=, 把上式代入①得2= (x+9), 所以x== =-, 因此直线AM与BN的交点在定直线x=-上. 变式　解:(1)设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得y2-2pmy-p2=0, 所以y1+y2=2pm.由抛物线定义,得 AB=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1). 当直线l的倾斜角为30°时,m==,AB=2p(m2+1)=8p=16,所以2p=4,即抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)证明:由(1)得y1+y2=4m,y1·y2=-4. 连接OA,OB,因为△PAB的垂心为原点O,所以OA⊥PB,OB⊥PA. 因为kBO=,所以kAP=-. 所以直线AP的方程为y-y1=-(x-x1),即y=-x+y1. 同理可得,直线BP的方程为y=-x+y2. 由 解得即P(-3, ... ...