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课件网) 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的通项公式 第1课时 等差数列的通项公式 探究点一 等差数列的通项公式及运用 探究点二 等差数列的判定与证明 探究点三 等差数列的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解等差数列的通项公式,能说出等差数列通项公式的特征,并 能灵活求解等差数列的基本量. 2.能用等差数列的有关知识解决简单的实际问题. 知识点 等差数列的通项公式 1.通项公式:若等差数列的首项为,公差为 ,则其通项公式为 _____. 2.等差数列的图象:等差数列 的通项公式可写成 .各点分布在一条以 为斜率的直线上,是这 条直线上一列_____. 孤立的点 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若数列满足,为常数,则数列 一定是等 差数列.( ) √ （2）若数列满足则 是等差数列.( ) × （3）在等差数列中,,则等差数列 的公差是3.( ) √ （4）各项都为正数的等差数列的公差一定大于0.( ) × 2.等差数列的通项公式对应的函数一定是关于 的一次函数吗 解:不一定,当公差为0时,等差数列 的通项公式对应的函数不是关 于 的一次函数,而是常函数. 探究点一 等差数列的通项公式及运用 例1 设等差数列的公差为 . （1）已知，，，求 ； 解: . （2）已知，，，求 ； 解:由得，解得 . （3）已知，，求 ； 解:由得，解得 . （4）已知，，求和 . 解:由得，解得 ， 所以 . 例1 设等差数列的公差为 . 变式 在等差数列中，,，则 ( ) A.8 B.10 C.14 D.16 [解析] 设的公差为，则解得 所以 .故选D. √ ［素养小结］ 等差数列首项、公差等基本量的计算主要利用等差数列的通项公式 列方程（组）求解. 探究点二 等差数列的判定与证明 例2 已知数列满足， ，且 . （1）求证：数列 是等差数列； 证明： 是一个常数，所以数列 是等差数列. （2）求数列 的通项公式. 解:由题得，数列 是公差为1的等差数列， 所以,故 . 例2 已知数列满足， ，且 . 变式 ［2025·江苏宿迁中学高二月考］已知数列满足 ， . （1）当时，求 及 的值. 解:， ， 又，， ， 则， . （2）是否存在 ，使数列 为等差数列？若存在，求其通项公式； 若不存在，说明理由. 解:不存在.， ， ， . 若数列为等差数列，则 ，即 ， ， 则 ， 方程无实数解， 不存在 使 为等差数列. ［素养小结］ 等差数列的常用判定与证明方法 1.定义法：对于数列
，若
（常数），则数 列
是等差数列； 2.等差中项：对于数列
，若
，则数列
是等差数列; 3.通项公式：
,
为常数,
是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同 一常数，即易忽视验证
这一关键条件. 探究点三 等差数列的实际应用 例3 ［2025·江苏如东中学高二月考］诺沃尔 在1740年发现 了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、…人类都可以看到这颗 彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在（2025年）开始到公元 3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为____． 12 [解析] 设彗星出现的年份依次构成数列 ，由题意可知，彗星出 现的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，所以 ， 令 ，即， 解得， 又 ，所以,6, ,16， 所以从现在开始到公元3000年， 人类可以看到这颗彗星的次数为 （次）. 变式 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有 如下记载：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺， 今三十日织迄.”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织 同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完.则该女子 第11天织布( ) A.尺 B.尺 C.尺 D. 尺 [解析 ... ...
