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课件网) 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的通项公式 第2课时 等差数列的性质与应用 探究点一 等差数列性质的应用 探究点二 由等差数列构造新等差数列 探究点三 等差数列单调性的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解等差数列的一些基本性质,并利用其解决一些简单问题. 2.能用等差数列的单调性解决一些简单问题. 知识点一 等差数列通项公式的推广与运算性质 两项关系 多项关系（性质） 通项公式的推广: _____ 为公差,, 项的运算性质:若 ,则 . 简记:若下标和相等,则对应项的和相等. 特别地,若 ,则 知识点二 由等差数列构造新数列 1.构造新数列的基本类型 （1）若是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差 为___的等差数列; （2）若是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差为 ____的等差数列; （3）若,分别是公差为, 的等差数列,且它们的项数相同, 则数列,是常数是公差为 的等差数列. 2.等差数列部分项的性质 若数列为等差数列,则,,,, 仍为 等差数列. 知识点三 等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列 的单调 性受公差 影响. （1）当 时，数列为递增数列，如图①所示； ① （2）当 时，数列为递减数列，如图②所示； ② （3）当 时，数列为常数列，如图③所示. ③ 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在等差数列中, .( ) √ （2）若等差数列的公差为,则数列的公差为 .( ) × （3）在等差数列中, .( ) × （4）若数列,,, 和,,, 都是公差为 的等差数列,则 ,,, 也是等差数列.( ) × 2.在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍 然是一个等差数列吗 解:仍然是等差数列. 探究点一 等差数列性质的应用 例1（1）在等差数列中,已知,,则 ( ) A.4 B.8 C.3 D.6 [解析] 方法一:由等差数列的性质可知 ,得 . 方法二:设等差数列的公差为,, , 解得 ,故选B. √ （2）在等差数列中,若,则 ___. 9 [解析] 方法一: 为等差数列, , . 方法二:设等差数列的公差为, , ,即 , ,即 . （3）在等差数列中,,,则 ____. 24 [解析] 设等差数列的公差为, , , . 变式 在等差数列中，， ， 则 的值为( ) A.30 B.27 C.24 D.21 [解析] 设， ， ， 因为是等差数列，所以，， 也是等差数列， 得，所以 ， 即 .故选A. √ ［素养小结］ 1.灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令
,
即变为
为等差数列
的 公差
,可以减少记忆负担. 2.等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法:根据已知条件,列出关于首项
和公差
的方程（组）, 确定
,
,然后求其他量. （2）巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足
,则
. 探究点二 由等差数列构造新等差数列 例2 ［2025·江苏海门中学高二月考］已知 为等差数列，且 ， ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的 数构成一个新的等差数列，问： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ 解:设新数列为，则， ，根据 为的公差，有 ，即 ，所以 ， 所以 ． 又因为 ，所以 ． 即原数列的第项为新数列的第 项． 当时， ，故原数列的第12项为新数列的第45项． （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 解:由（1）得，令，得 ， 即新数列的第29项是原数列的第8项． 例2 ［2025·江苏海门中学高二月考］已知 为等差数列，且 ， ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的 数构成一个新的等差数列，问： 变式 已知等差数列,1,4,7,10, ,现在其每相邻两项之间插入一个 数,使之成为一个新的等差数列 . （1）求新 ... ...
