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课件网) 4.2 等差数列 4.2.3 等差数列的前 项和 第1课时 等差数列的前 项和 探究点一 等差数列前项和的基本计算 探究点二 等差数列的前项和的性质 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能推导等差数列的前 项和公式,能说出“倒序相加法”的特点、 适用条件及操作步骤. 2.能说明等差数列前 项和公式的特征,能灵活运用求和公式解决 一些简单问题. 知识点一 倒序相加法 如果一个数列 中,与首末项等“距离”的两项之和等于首末两项之 和,那么求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,这样就得到 了一个常数列的和,进而求得数列的前 项和,这一求和方法称为 _____. 倒序相加法 知识点二 等差数列的前 项和公式 1.等差数列的前 项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差 与项数 求和公式 _ _____ _ _____ 2.两个公式的关系:把代入 ,就可以得 到 . 知识点三 等差数列的前 项和的性质 等差数列的前项和 的常用性质 性质1 等差数列中依次项之和,,, 组成公 差为 的等差数列 性质2 若等差数列的项数为，则 , , ; 若等差数列的项数为 ，则 是数列的中间项 ， , 性质3 为等差数列 为等差数列 性质4 若,都为等差数列，,分别为它们的前 项和， 则 续表 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知等差数列的公差为,则当时,等差数列 的前 项的和 .( ) √ （2）等差数列的前项和公式是关于正整数 的二次函数.( ) × （3）等差数列的前 项和公式的常数项为0.( ) √ （4）设等差数列的前项和为,则与 不可能相等.( ) × 探究点一 等差数列前 项和的基本计算 例1 设等差数列的公差为,前项和为 . （1）已知，，求 ； 解:由 解得 所以 . （2）已知，，，求及 ； 解:由 ， 整理得，解得或 （舍去），所以 ． 例1 设等差数列的公差为,前项和为 . （3）已知， ， ，，求 . 解:由 ， ，可得 ， 即 ． 又因为，所以 ． 例1 设等差数列的公差为,前项和为 . 变式 设等差数列的前项和是，若，则 ( ) A.5 B.45 C.15 D.90 [解析] 设等差数列的公差为 ，因为 ， 所以， 又，所以 . 故选B. √ ［素养小结］ 解决等差数列前
项和计算问题的思想方法 1.方程思想：等差数列的通项公式和前
项和公式中有五个量
，
，
，
和
，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基 本量
和
的方程组，解出
和
，便可解决问题. 2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用
，
表 示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差 数列的常用性质：若
，则
，常与前
项和公式
结合使用． 探究点二 等差数列的前 项和的性质 例2（1）已知一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项之和与 奇数项之和的比为,求公差 . 解:设该等差数列的前12项中偶数项之和为,奇数项之和为 , 则解得 由,得 . （2）设是等差数列的前项和,若,求 . 解:方法一:设等差数列的公差为, 等差数列的前 项和为 ,,,整理得 , . 方法二:数列为等差数列,则,, 也成等差数列. ,,则数列,,是以为首项, 为公 差的等差数列,,,得,故 . （3）已知,均为等差数列,其前项和分别为, ,且 ,求 . 解: . （4）已知等差数列和的前项和分别为， ，若 ，求 . 解:设等差数列的公差为 ，则 ， 又， ， 等差数列和的前项和分别为，，且 ， ， . 变式（1）［2025·江苏南京一中高二调研］已知等差数列和 的前项和分别为和，若，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 由，令，则 ，所以 ， ，所以 ，故选B. ... ...
