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课件网) 4.2 等差数列 4.2.3 等差数列的前 项和 第2课时 等差数列前 项和的性质及 应用 探究点一 与等差数列前项和有关的最值 问题 探究点二 等差数列前项和的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.进一步理解等差数列前 项和的公式与性质. 2.会求等差数列前 项和的最值. 3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,抽象出等差数列 模型,并应用该模型解决相关问题. 知识点一 从函数的角度理解等差数列的前 项和公式 公式可化成关于的表达式: _____. 当时,关于 的表达式是一个常数项为零的二次表达式,即 点在其相应的_____函数的图象上,这就是说等差数列的前 项 和公式是关于的二次函数,它的图象是抛物线 上 横坐标为正整数的一群孤立的点. 二次 知识点二 等差数列前 项和的最值 （1）利用邻项变号法: 当,时,有_____值,使取到最值的 可由不等式组 _ _____确定; 当,时,有_____值,使取到最值的 可由不等式组 _ _____确定. 最大 最小 （2）利用二次函数的最值: ,,若 ,则从二次函数的角度看:当 时,有_____值;当时,有_____值.当 取最接近对称轴 的正整数时, 取到最值. 最小 最大 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）等差数列中，若,公差,则前项和 有最大值, 且最大值就是所有正数项之和.( ) × （2）在数列中,若,,则前项和 取得最大 值时 的可能取值有两个.( ) √ （3）设等差数列的前项和为，若，则 . ( ) √ 2.等差数列的前 项和都有最大值与最小值吗 解:若等差数列的公差,则该数列的前 项和有最小值,没有最大值; 若等差数列的公差,则该数列的前 项和有最大值,没有最小值. 所以等差数列的前 项和不是都有最大值与最小值. 探究点一 与等差数列前 项和有关的最值问题 例1（1）等差数列的前项和为,若,,则 的最 大值为_____. 169 [解析] 方法一:设等差数列的公差为 ,则由, , 由二次函数的性质得,当时, 取得最大值169. 得,解得 ， 方法二:先求出的公差 （同方法一）, 则 . 由 得 即, 又， 当时, 取得最大值,且最大值为 . 方法三:,,的公差 , 的前项和公式为关于 的二次表达式,借助相 应的定义在 上的二次函数图象,如图所示, 则当时,取得最大值. 求出公差 （同方法一）, . 方法四:,,的公差 , , 即,则,, 的最大值为 . 求出公差 （同方法一）, . （2）［2025·江苏金陵中学高二月考］已知等差数列的前 项和 为．若，且，则满足的正整数 的最大 值为____． 33 [解析] 因为 ，所以 ， 因为 ，且， 所以， ， 故使的正整数 的最大值为33． 变式 ［2025·江苏新海中学高二月考］ 已知等差数列的前 项 和为，， ． （1）求数列 的通项公式； 解:设等差数列的公差为 ， 由，，得， ，解得 ，，所以 ． （2）求的最小值及取得最小值时 的值． 解:方法一：由公差知是递增数列，当 时，； 当时， ． 所以 ， 所以当时，最小，最小值为 ． 方法二：因为 ， 又，所以当时，最小，最小值为 . 变式 ［2025·江苏新海中学高二月考］ 已知等差数列的前 项 和为，， ． ［素养小结］ 求等差数列前
项和最值的常用思路: （1）利用等差数列的单调性,求出其正、负转折项,便可求得前
项和 的最值; （2）利用性质求出其正、负转折项,便可求得前
项和的最值; （3）利用等差数列的前
项和
,
为常数,且
为 关于正整数
的二次函数,结合二次函数的性质求最值. 探究点二 等差数列前 项和的实际应用 例2 ［2025·安徽安庆一中高二月考］流感是由流感病毒引起的急性 呼吸道传染病，冬春季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现 象非常严重.我国北方某市去年12 ... ...
