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课件网) 4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的通项公式 第2课时 等比数列的性质与应用 探究点一 等比数列性质的应用 探究点二 构造等比数列 探究点三 等比数列单调性及应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性 质简化运算. 2.掌握简单的与等比数列有关的构造. 3.掌握等比数列单调性的简单应用. 知识点一 等比数列的性质 设为等比数列，公比为 ，则 （1）若，,,,，则 . （2）若,,成等差数列，则,, 成等比数列. （3）数列 为不等于零的常数仍是公比为 的等比数列； 数列是公比为 的等比数列； 数列是公比为 的等比数列； 若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为 的 等比数列. （4）在数列中，每隔 项取出一项，按原来的顺序排列， 所得数列仍为等比数列，且公比为 . （5）在数列中，连续相邻项的和（或积）构成公比为 （或 ）的等比数列. （6）若数列 是各项都为正数的等比数列，则数列 {且是公差为 的等差数列. 知识点二 等比数列的单调性 设等比数列的公比为 ，由指数函数的性质可知, 当,时,等比数列 是递增数列; 当,时,等比数列 是递增数列; 当,时,等比数列 是递减数列; 当,时,等比数列 是递减数列; 当时,等比数列 是摆动数列; 当时,等比数列 是常数列. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知数列对任意的且，满足 ， 且，，则数列的通项公式为 .( ) × （2）已知数列是等比数列，，则 .( ) √ （3）已知在等比数列中,,,则数列 为递增 数列.( ) √ （4）已知数列是等比数列，且公比大于0，则“ ”是“数列 是递增数列”的充要条件.( ) × 2.若数列是等比数列，则 一定是等比数列吗？若 ,都是等比数列,则 一定是等比数列吗？ 解：若为1,,1,, ,则不是等比数列，若 为 ,1,,1, ,则,都是等比数列,但为0,0,0,0, ,显 然不是等比数列.故不一定是等比数列， 不一定 是等比数列. 探究点一 等比数列性质的应用 例1（1）［2025·江苏镇江中学高二月考］已知等比数列 的公比 ，且，则 ____． [解析] 由等比数列的性质可知 ， 所以， 公比，， ． （2）［2025·广东惠州中学高二质检］已知数列 是等差数列，数 列是等比数列，，且，则 _ __. [解析] 数列是等差数列，且 ， ，可得 ， 则 . 数列是等比数列， ， 又，， ， ， . 变式 记等比数列的前项积为，若，则 ( ) A.256 B.81 C.16 D.1 [解析] 因为数列为等比数列，且前项积为 ，所以 ，所以 ， 故选C. √ ［素养小结］ 等比数列项的性质应用 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若
，则
”， 可以减少运算量，提高解题速度． 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进 行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 探究点二 构造等比数列 例2（1）已知数列满足， ，设 ，则 的通项公式为_____. [解析] 由得，又 ，所以数列 ，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得 ， 所以 . （2）［2025·湖南湘潭一中高二月考］已知数列 满足 ,，则 的通项公式为_____. [解析] 由得，而 ， 故是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，即 . （3）已知数列满足，，则数列 的通 项公式为_____. [解析] 由两边同除以得 ，令 ，则， 设，解得 ， 则，而， 数列是以 为 首项，为公比的等比数列，，得 . （4）［2025·江苏靖江中学高二质检］已知数列 满足 ，且，，则数列 的通项 公式为_____. [解析] 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以数列是以为首项， 为公比的等 比数列，所以 . ,所以数列 为常数列， 故， 可得， ... ...
