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课件网) 4.3 等比数列 4.3.3 等比数列的前 项和 第1课时 等比数列的前 项和 探究点一 等比数列的前项和公式的基本 运算 探究点二 分组求和法 探究点三 错位相减法求和 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能推导等比数列的前 项和公式. 2.能说明等比数列前项和公式的特征,能灵活运用前 项和公式解决 一些简单问题. 知识点一 等比数列的前 项和公式 设等比数列的公比为,其前项和为,则当时, _____;当时, _ _____. 知识点二 等比数列的前 项和公式的函数特征 （1）当时，是关于的正比例函数，点 是直线 上的一群孤立的点. （2）当时，.记 ，则 是一个指数式与一个常数的和.当且 时， 是指数函数，此时，点是指数型函数 图 象上的一群孤立的点. 知识点三 错位相减法 已知，，则形如 的数 列求和可用错位相减法，其基本解题步骤如下： 第一步：由题可得 . 第二步：写出前项和的表达式 ，等式两边 同乘公比， . 第三步：由得 . 第四步：化简③可得 . 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）求等比数列的前项和时,可直接套用公式 . ( ) × （2）若首项为的数列既是等比数列又是等差数列,则其前 项和 .( ) √ （3）等比数列的前项和 不可能为0.( ) × （4）若,则 .( ) × 2.当，时，是 为等比数列的充 要条件，此时 ，你能证明这个结论吗？ 证明：一方面，若为等比数列，且公比 ,则 ,令,得 . 另一方面，若，且 ,则 ,当时， , 易知当时，也成立，所以数列 的通项公式为 ,所以对任意 ,都有 ,所以是公比为 的等比数列. 探究点一 等比数列的前 项和公式的基本运算 例1 设等比数列的公比为,前项和为 . （1）若,,求 ; 解： . （2）若,,且,求和 ; 解：因为为等比数列且,,所以,即, 又，所以 , 所以 . （3）若,,求与 ; 解：由题意知解得或 所以 ,或, . （4）若,,,求和 . 解：易知,所以由题知解得 例1 设等比数列的公比为,前项和为 . 变式 ［2025·江苏金陵中学高二月考］ 已知数列 是等比数列， ,，则该数列的前10项和以及 依次为 ( ) A.682， B.， C.682，或 D.，或 √ [解析] 根据题意得解方程得 或则 ，或 .故选C. ［素养小结］ 在等比数列
的五个量
,
,
,
,
中,
与
是最基本的,当条件与 结论间的联系不明显时,均可以用
与
表示
与
,从而列方程组求 解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思 想与整体思想在数列中的具体应用. 探究点二 分组求和法 例2 ［2025·江苏泰州高二期末］设为数列的前 项和， ． （1）求数列 的通项公式； 解：因为 ， 所以当时， ，即 ; 当时，，可得 . 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则 . （2）记，求数列的前项和 ． 解：由（1）知 , 则 . 例2 ［2025·江苏泰州高二期末］设为数列的前 项和， ． 变式（1）［2025·浙江金华十校高二期末］已知数列 满足 ,且则该数列前20项和 _____. 1078 [解析] 因为，所以数列 的 所有奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，数列 的所有 偶数项构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以 . （2）公差不为零的等差数列的前4项和为28，且，， 成 等比数列． ①求数列 的通项公式； 解：因为公差不为零的等差数列的前4项和为28，且,, 成 等比数列， 所以,,即,则 , 与联立得， , 则 . ②设，求数列的前项和 ． 解： , 可得数列的前 项和 . （2）公差不为零的等差数列的前4项和为28，且，， 成 等比数列． ［素养小结］ 分组求和法适用的题型 若
,其中数列
与
一个是等差数列，另一个是等比数 列，求数列 ... ...
