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课件网) 4.4 数学归纳法 探究点一 数学归纳法的原理 探究点二 数学归纳法的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明与正整数 有关的一些简单命题. 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当_____时命题成立； （2）（归纳递推）假设当_____时命题成立，证明 当_____时命题也成立． 根据就可以断定命题对于从____开始的所有正整数 都成 立．这种证明方法叫作数学归纳法． 知识点二 数学归纳法的证明形式 记是一个关于正整数 的命题．我们可以把用数学归纳法证明的 形式改写如下： 条件：（1）_____为真；（2）若_____为真，则_____也为真． 结论：_____为真． 知识点三 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当_____时结论 成立，即命题_____；第二步是证明一种_____关系，实际上 是要证明一个新命题：_____．只要将这 两步交替使用，就有_____真，_____真……_____真， _____真 ，从而完成证明． 为真 递推 若为真，则也为真 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）与正整数 有关的数学命题只能用数学归纳法证明.( ) × （2）数学归纳法证明的第一步中的初始值 只能是1.( ) × （3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.( ) √ 探究点一 数学归纳法的原理 例1（1）用数学归纳法证明 ,是正整数,在验证 时,左边所得的项为( ) A.1 B. C. D. [解析] 当时,等式为, 在验证 时,左边所得的项为 .故选C. √ （2）用数学归纳法证明不等式 的过程中,由 递推到 时,不等式左边( ) A.增加了 B.增加了 C.增加了 D.增加了 √ [解析] 当时,可得 , 当时,可得, 所以由 递推到时,不等式左边增加了 . 故选C. （3）利用数学归纳法证明不等式 的过程中,由 到 时,左边增加了( ) A.1项 B.项 C.项 D. 项 [解析] 增加的项为,共 项. √ 变式 已知 ，用数学归纳法证明 时， _____. [解析] 当时，，则当 时， ，所以 . ［素养小结］ 弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律,才能清楚增加（减少）了 哪些项或增加（减少）了多少项. 探究点二 数学归纳法的应用 角度1 证明与 有关的等式 例2 用数学归纳法证明: . 证明:设，当时， ，等式成立. 假设当 时，等式成立， 即 ， 所以 ， 这说明当 时，等式成立， 所以 . 变式 用数学归纳法证明: . 证明:记 . 当时，有 ，等式成立. 假设当 时，等式成立，即 ， 则 ，这说明当 时，等式成立，故对任意的 ， . ［素养小结］ 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述
时命题的形式,二是要准确把握由
到
时,命题结构 的变化特点,即弄清从
到
时,等式两端增加了哪些项,减 少了哪些项.并且一定要记住，在证明
成立时,必须使用归纳 假设. 角度2 证明不等式问题 例3 用数学归纳法证明：, ． 证明:（1）当时，左边，右边 ,不等式成立. （2）假设时不等式成立，即 ； 则当时，左边 ， 右边 ， ， ，， ， 则当时， ，不等式成立， 综上可得, ． 变式 用数学归纳法证明： . 证明:（1）当时,左边,右边,即当 时, 不等式成立. （2）假设当 时,不等式成立,即 ,则当时, ,即当 时,不等式也成立. 由（1）（2）得,不等式对所有的 都成立. ［素养小结］ 在利用数学归纳法证明不等式的第二步中,必须用上归纳假设,但具体 的证明过程可以灵活运用作差比较大小或放缩等方法. 角度3 证明数列问题 例4 已知数列的通项公式为,记该数列的前 项和为 . （1）计算,,, 的值; 解：因为,所以 , , , . （2） ... ...
