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课件网) 微突破（六） 求数列通项公式的常用方法 方法一 由数列的前项和求通项公式 方法二 累加法 方法三 累乘法 方法四 构造法 ◆ 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 方法一 由数列的前 项和求通项公式 已知或求 的解题步骤: 第一步,利用满足的条件,写出当时, 的表达式; 第二步,利用,求出或者转化为关于 的递推 公式的形式，进而求出时 的通项公式; 第三步,根据求出,并代入时 的通项公式进行验证, 若满足公式,则合并,若不满足,则写成分段形式. 例1（1）已知数列的前项和,则数列 的通项 公式为_____. [解析] 数列的前项和, , 当 时, , 满足上式， . （2）已知数列的前项和为,且满足 ,则 数列 的通项公式为_____. [解析] 根据题意,当时,可得,所以 . 由,得当时, , 所以,即 . 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,故 . （3）已知数列满足,则 的通项公式为_____. [解析] 当时,,, 当 时, , 两式相减可得, , 适合上式, . 变式 已知各项都是正数的数列的前项和为 ， ，，则数列 的通项公式为_____. [解析] 因为，，所以当 时， ,可得;当时, , ， 两式相减并化简得, 其中 ，所以， 即 . 所以数列是首项，公差为的等差数列，所以 . 方法二 累加法 求形如的数列 的通项公式,可将原递推公式转化 为,再利用累加法求解,即由 , , , 相加可得 . 例2 设数列满足，，则数列 的通项公式为( ) A. B. C. D. √ [解析] ， 当时， ， ， ， ， 将以上各式相加得 ，则 ，即 ， 又也适合上式， ．故选B． 变式 已知数列满足， ，则下列结论 正确的是( ) A. B. C. D. √ [解析] ，,即 ，可 得，， ， ， 以上各式相加，可得 ，即， 又, ,即.,故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选A. 方法三 累乘法 求形如的数列 的通项公式,可将原递推公式转化为 ,再利用累乘法求解,即由,, , 相乘可得 . 例3 设数列 是首项为1且各项都为正数的数列，满足 ，则它的通项公式为 __. [解析] 由 ，得 , 又数列 中的各项都为正数， 所以，即 ,所以 . 又满足上式，所以 . 变式 在数列中，若,,则 _____. [解析]由,得,所以. 又满足上式，所以 . 方法四 构造法 角度1 型 一般形式,为常数，,, ，可以构造 一个等比数列，只要在每一项同时加上一个常数即可，且常数 ，可得，令，则 为等比 数列，求出，再还原到，可得 . 例4 若数列满足，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以 ， 又，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，所以 .故选B. √ 变式 已知数列满足，，则数列 的通 项公式为( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为，所以, 又 ，所以， 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即 .故选D. 角度2 型 1.若，即 ，累加即可. 2.若，即 ，求通项公式的方法有以下两种： （1）两边同时除以，得，令 ，则 ，然后用累加法求通项公式. （2）两边同时除以，得，令 ，则可化为 ，然后用适当的方法求通项公式即可. 例5 已知数列的首项，且满足 ，求数 列 的通项公式. 解：， ， ， 又， 是以2为首项，2为公比的等比数列， ，则 ． 变式 设数列的前项和为，且满足 ， ，求 . 解:因为 , 所以,所以 ， 则,所以， 又，所以是首项为 ，公差为 的等差数列， 则，故 . 角度3 型 1.形如,为常数， 的数列，通过两边取“倒数”， 变形为，即 ，从而构造出新的等差数列 ，先求出的通项公式，即可求得 的通项公式. 2.形如,为常数，，， 的数列，通 过两边取“倒数”，变形为，可通过 进行换元， 化为 ，再用适当的方法求通项公式. 例6（1）在数列中，已知，，则 等 于( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列，则 ， 则 .故选B. √ （2）已知数列满足，，则 的 ... ...
