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课件网) 5.1 导数的概念 5.1.2 瞬时变化率———导数 第2课时 导数 探究点一 导数定义的理解 探究点二 用导数定义求函数导数 探究点三 求切线的方程 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解函数的瞬时变化率———导数的定义. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 知识点一 导数 1.导数 设函数在区间上有定义，，若 _____ ____时，比值无限趋近于一个_____，则称 在处_____，并称该常数为函数在 处的导数，记 作_____. 无限趋近于0 常数 可导 2.导数的几何意义 导数的几何意义就是曲线 在点_____处的切线 的_____. 提醒：（1）函数应在 及其附近有意义，否则导数不 存在. （2）若极限不存在，则称函数在 处不可导. 斜率 知识点二 导函数 若对于区间内任一点都可导，则 在各点处的导数也随 着自变量的变化而变化，因而也是自变量 的函数，该函数称为 的导函数（简称导数） 的导函数记作_____，即 _ _____. 提醒：是函数的导函数，是对某一区间内任意 而言的，即 如果函数在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函 数———导函数 . 或 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在处的导数 是一个常数.( ) √ （2）函数在处的导数值就是曲线在 处的 切线的斜率.( ) √ （3）直线与曲线相切，则直线与曲线只有一个公共点.( ) × （4）函数 没有导函数.( ) × 2.函数在处的导数与导函数 之间有什么区别与 联系？ 解：区别：是函数在 处函数值的改变量与自变量的 改变量之比的极限，是一个常数，不是变量. 联系：函数在处的导数就是导函数在 处 的函数值.这也是求函数在 处的导数的方法之一. 探究点一 导数定义的理解 例1 ［2025·江苏南京一中高二月考］若函数 可导，则 等于( ) A. B. C. D. [解析] ．故选C. √ 变式 （多选题）若函数在 处存在导数，则 的值( ) A.与有关 B.与有关 C.与无关 D.与 无关 √ √ [解析] 由导数的定义可知，函数在处的导数与有关， 与 无关，故选 . ［素养小结］ 1.在理解导数的概念时，应注意自变量的改变量
可正，可负，但 不可为0. 2.
. 探究点二 用导数定义求函数导数 例2 利用导数的定义，求在处的导数 . 解：由题意知 ，所以 ， 则 . 变式 求函数 的导函数． 解： ， ， ， 函数的导函数为 . ［素养小结］ 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤： （1）求函数值的改变量
； （2）求平均变化率
； （3）求极限
. 探究点三 求切线的方程 例3 已知曲线方程为 . （1）求该曲线在点 处的切线方程； 解：设 ,则 ， ，故所求切线的斜率为4, 则所求切线的方程为,即 . （2）求过点 且与该曲线相切的直线方程. 解：点不在曲线上,可设切点坐标为 ,由（1）知 , 切线的斜率为 ,则切线的方程为 . 又 点在切线上,,解得或 ， 切点坐标为, . 故所求切线方程为或 , 即或 . 例3 已知曲线方程为 . 变式 已知函数，过点作曲线 的切线，则其 切线方程为_____． 或 [解析] 设切点为 ，得切线的斜率 ，则切线方程为 ，即. 因为切线过点 ，所以，解得或， 从而切线方程为 或 . ［素养小结］ 1.求曲线在点
处的切线方程的一般步骤： 2.求曲线过点 的切线方程，可分以下几步完成： 第一步：设出切点的坐标 ； 第二步：写出曲线在点 处的切线方程,为 ； 第三步：将代入切线方程，求出 的值； 第四步：将的值代入可得过点 的切线方程. 极限的含义 “极限”是微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能 到达”.数学中的“极限”是指:某一个函数中的某一个变量, ... ...
