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课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 单调性 第1课时 不含参数的函数单调性 探究点一 函数图象与导函数图象的关系 探究点二 求函数的单调区间 探究点三 判断不含参数的函数单调性 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 知识点一 函数的单调性与导函数的关系 1.在区间内函数的单调性与导函数 的正负之间的关系 如表所示: 单调递____ 单调递____ 增 减 如:函数，当时,， 单 调递增；当时,, 单调递减，如 图所示. 知识点二 利用导数求函数的单调区间的一般步骤 第1步,确定函数 的_____; 第2步,求出导数 的_____; 第3步,用的零点将 的定义域划分为若干个_____,列表给出 在各区间上的_____,由此得出函数 在定义域内的 _____. 定义域 零点 区间 正负 单调区间 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在某个区间内,如果,那么函数 在这个区间内 单调递增.( ) √ （2）在某个区间内,如果,那么函数 在这个区间内 单调递减.( ) √ （3）函数的增区间为 .( ) × （4）“对任意,都有”是“在 内单调递增” 的充要条件.( ) × 2.一般地，可导函数在区间 内单调递增（减）的充要 条件是什么？ 解：对任意的，都有，且在 的任何子区间内都不恒等于0. 探究点一 函数图象与导函数图象的关系 例1 已知函数和 的图象分别如图①②所示,试分别 画出其导函数的大致图象. ① ② 解：分别画出函数和的导函数 和 的大致图象如图（1）（2）所示. （1） （2） 变式 已知的导函数 的图象如 图所示,则 的图象最有可能是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得在和上单调递减,在 上 单调递增,故选A. √ ［素养小结］ 函数图象的变化可以通过导数的正负来分析判断,即导数的符号为正, 函数图象上升,导数的符号为负,函数图象下降.看导函数的图象时,主 要是看图象在
轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调 性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象. 探究点二 求函数的单调区间 例2 ［2025·江苏宿迁中学高二月考］函数 ( ) A.是增函数 B.在上单调递增，在 上单调递减 C.是减函数 D.在上单调递减，在 上单调递增 √ [解析] 由，，得， 令 ，即，解得， 则当时，，当 时，， 所以已知函数在上单调递减，在 上单调递增， 故选D. 变式 ［2025·山东青岛二中高二月考］函数 的增区间 为( ) A. B. C. D. [解析] 函数的定义域为， ， 则. 令，解得 ，则函数的增区间为 .故选D. √ ［素养小结］ 求可导函数单调区间的一般步骤 1.确定函数
的定义域； 2.求
，令
，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； 3.把函数
的“间断点”（使
无定义的数值）和方程
的 各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数
的定 义域分成若干个小区间； 4.确定
在各小区间内的符号，根据
的符号判断函数
在 每个相应小区间内的单调性． 拓展（1）［2025·江苏锡山中学高二质检］已知函数 在区间上单调递减，则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. [解析] ,由 ,可得， 由题意可知，所以 解得 .故选B. √ （2）［2025·湖南长沙一中高二质检］若函数 在其定义域的一个子区间 内 不单调，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为函数的定义域为，所以，即 ， 可得， 令 ，得或（舍去）， 因为 在定义域的一个子区间内不单调， 所以，得 . 综上可得 ，故选D. 探究点三 判断不含参数的函数单 ... ...
