第2课时 含参数函数的单调性问题及单调性的简单应用 【课中探究】 探究点一 例1 解:f(x)=aln x+x2-(a+2)x(a>0),该函数的定义域为(0,+∞), 可得f'(x)=+2x-(a+2)==. 由f'(x)=0得x=或x=1. ①当=1,即a=2时,f'(x)≥0对任意的x>0恒成立,且f'(x)不恒为零, 此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当>1,即a>2时,由f'(x)>0得0
; 由f'(x)<0得10得01; 由f'(x)<0得2时,函数f(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减;当00,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. ②当m+1<0,即m<-1时, 令f'(x)>0,得0, 所以f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. ③当m+1>0,即m>-1时,若-10,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 若m>0,令f'(x)<0,得00,得x>, 所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增. 综上,当m<-1时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减;当-1≤m≤0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当m>0时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增. 探究点二 例2 解: (1)因为f(x)在R上为增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立, 所以a≤3x2对任意x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f(x)=x3-1,此时f(x)在R上为增函数,所以a的取值范围是(-∞,0]. (2)因为f'(x)=3x2-a,且f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2对任意x∈(1,+∞)恒成立,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3]. (3)因为f'(x)=3x2-a,且f(x)在(-1,1)上单调递减,所以f'(x)≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2对任意x∈(-1,1)恒成立.因为x∈(-1,1),所以3x2∈[0,3),则a≥3,所以a的取值范围是[3,+∞). (4)f'(x)=3x2-a. ①当a≤0时,f'(x)≥0,此时f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,不满足题意. ②当a>0时,由f'(x)<0得3x2-a<0,所以x2<,可得-0时,因为f(x)在(-1,1)上不单调,所以方程f'(x)=0在(-1,1)内有解,由f'(x)=0,得x=±,所以0<<1,解得00在内有解,故a>-当x∈时有解.令g(x)=-,则易知g(x)=-在上单调递增,∴g(x)>g=-2,故a>-2.故选D. 拓展 A [解析] 根据题意,不妨取x1-1可转化为f(x2)-f(x1)>x1-x2,即f(x2)+x2>f(x1)+x1,则ln x1++x10,得f.故选C. (2)对于不等式xf'(x)≤0,当-